Epicykloid

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; kontroller kräver 9 redigeringar .

Epicykloid (från annan grekisk ὲπί - på, över, vid och κύκλος - cirkel, cirkel) - en platt kurva som bildas av en fast punkt i en cirkel som rullar längs utsidan av en annan cirkel utan att glida. Enligt Leibniz gjorde Ole Römer tidigare 1676 en praktiskt viktig upptäckt att epicykloidtänder i ett kugghjul ger minst friktion.

Ekvationer

Om centrum för en fixerad cirkel är vid utgångspunkten för koordinater, dess radie är , radien för cirkeln som rullar längs den är , då beskrivs epicykloiden med parametriska ekvationer med avseende på : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

var är rotationsvinkeln för punkten som beskriver epicykloiden i förhållande till centrum av den rörliga cirkeln vid rörelsens början (moturs från x-axeln), är en parameter, men i själva verket är detta lutningsvinkeln för segmentet mellan mittpunkterna till axeln . $\alfa$ $\varphi$ $OXE$

Du kan ange värdet , då kommer ekvationerna att visas i formuläret $\textstyle k={\frac {R}{r}}$

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi)}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi)}{k+1}}\right)\end{cases}}

Värdet bestämmer epicykloidens form. När en epicykloid bildar en kardioid , och när den bildar en nefroid . Om är en irreducerbar del av formen ( ), då är antalet spetsar för den givna epicykloiden och är antalet fullständiga rotationer av den rullande cirkeln. Om irrationellt tal , då är kurvan inte stängd och har ett oändligt antal felmatchade cusps. $k$ $k=1$ $k=2$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $n$ $k$

Epicykloider för olika värden av parametern k:
$k=1$ ( kardioid )
$k=2$ ( nefroid )
$k = 3$
$k={\frac {3}{4))$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0.5={\frac {1}{2))$
$k=2.1={\frac {21}{10}}$
$k=3.8={\frac {19}{5}}$
$k=5.5={\frac {11}{2}}$
$k=7.2={\frac {36}{5}}$

Får

Låt - den önskade punkten, - punktens avvikelsevinkel från kontaktpunkten för två cirklar, - avvikelsens vinkel mellan dessa cirklars mittpunkter.

P

\alfa

P

\theta

Eftersom cirkeln rullar utan att glida, alltså

\ell _{R}=\ell _{r}

Per definition av längden på cirkelbågen :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

Av dessa två uttalanden följer att

\theta R=\alpha r

Vi får förhållanden för :

\alfa

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

Låt mitten av den fasta cirkeln , mitten av den andra cirkeln . Det är uppenbart

A

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Låt oss skriva om i koordinater :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\överhögerpil {(\left(R +r\höger)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \höger))}}

Därför är punktens position : $sid$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Se även

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta