Cissoid av Diocles

Diokles cissoid är en plan algebraisk kurva av tredje ordningen. I det kartesiska koordinatsystemet , där abskissaxeln är riktad längs , och ordinataaxeln längs , byggs en hjälpcirkel på segmentet , liksom på diametern . En tangent ritas vid en punkt . En godtycklig rät linje dras från punkten , som skär cirkeln i punkten och tangenten i punkten . Från punkten , i punktens riktning , läggs ett segment av vars längd är lika med segmentets längd . När en linje roterar runt en punkt , beskriver punkten en linje som kallas Diokles Cissoid . De två grenarna av denna linje i fig. 1 visas i blått och rött. $OXE$ $OY$ $OA=2a$ $A$ $UV$ $O$ $OF$ $E$ $F$ $F$ $O$ $FM$ $OE$ $OF$ $O$ $M$

Ekvationer

Cissoidekvationen i ett rektangulärt koordinatsystem skrivs på följande sätt:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Cissoidekvationen i polära koordinater är:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

Ibland skrivs cissoidekvationen i det polära koordinatsystemet så här:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Parametrisk cissoidekvation:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

var

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Historik

Cissoiden utforskades först av den grekiske matematikern Diocles på 200-talet f.Kr. e. Diocles byggde kurvan så här: det finns en punkt , som är belägen på hjälpcirkeln symmetriskt till punkten ; symmetriaxeln är diametern . Från punkten ritas en vinkelrät mot abskissaxeln. Punkten som hör till cissoiden är i skärningspunkten mellan denna vinkelrät och linjen . Med denna metod konstruerade Diocles endast kurvan inuti hjälpcirkeln. Om denna del av cissoiden ( ) stängs med en cirkelbåge erhålls en figur som liknar ett murgrönablad till sin form . På grekiska är murgröna κισσός ("kissos"), från vilket namnet på kurvan - "Cissoid" kom från. $P$ $E$ $BD$ $P$ $M$ $OE$ $DOB$ $DOB$ $EAD$

I sin moderna form reproducerades cissoiden av den franske matematikern Gilles Roberval 1640 . Senare utforskades cissoiden också av den holländska matematikern Sluz .

Egenskaper

Cissoiden är symmetrisk med avseende på abskissaxeln.
Den cissoid skär hjälpcirkeln på punkter och , som hör till diametern på denna cirkel. $B$ $D$
Den cissoid har en cusp och en asymptote , vars ekvation är: , där är radien av hjälpcirkeln. $UV$ $x=2a$ $a$
Cissoiden är en evolvent av en parabel med en spets vid parabelns spets. Dessutom är parabelns riktning en asymptot av cissoiden. [ett]

Område mellan cissoid och asymptot

Detta område är lika med:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Slutsats

Området som är inneslutet mellan grenarna av cissoiden och asymptoten . Övre gren ekvation : $KOL$ $UV$ $S_{1}$ $OL$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

Hälften av arean innesluten mellan cissoiden och asymptoten är lika med integralen av ekvation (2) i intervallet från 0 till : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Utbyte:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Integrationsgränser:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

Integral (3) omvandlas till formen:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Så:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Volym av en revolutionskropp

Volymen ( ) av kroppen som bildas av grenens rotation runt abskissaxeln beräknas enligt följande: $V_{1}$ $OL$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\right)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Om alltså . _ $x\to 2a$ $\ln(2a-x)\to -\infty$ $V_{1}\to \infty$

Anteckningar

↑ Akopyan A.V. Geometri i bilder .

Litteratur

Savelov A.A. Platta kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar (Referensguide). - Moskva: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1960. - 293 sid.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Handbok för teorin om plankurvor av tredje ordningen. - Moskva: Fizmatgiz, 1961. - 263 s.

J. Dennis Lawrence. En katalog med speciella plankurvor. - Dover Publications, 1972. - 53-56 sid. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 sid.

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta