Astroid
Astroid (från grekiskans αστρον - star and ειδος - view , det vill säga stjärnformad) [1] - en platt kurva som beskrivs av en punkt i en cirkel med radie , rullande längs insidan av en cirkel med radie . Med andra ord är en astroid en hypocykloid med modul .
Historik
Namnet på kurvan i formen "Astrois" föreslogs av den österrikiske astronomen Josef Johann von Litrow 1838 [2] [3] [1]
Ekvationer
Ekvationen i kartesiska rektangulära koordinater är:
Parametrisk ekvation: [4]
Astroiden är också en algebraisk kurva av första slaget (och av sjätte ordningen). Ekvation i algebraisk form:
Egenskaper
- Det finns fyra spetsar .
- Båglängd från punkt 0 till
- Längden på hela kurvan .
- Krökningsradie:
- Område avgränsat av kurva:
- Volymen av en rotationskropp kring valfri koordinataxel:
- Astroiden är höljet av en familj av segment med konstant längd, vars ändar är belägna på två ömsesidigt vinkelräta linjer [1] .
- Astroidens utveckling liknar den, men dubbelt så stor och roterad 45° i förhållande till den.
- Astroiden (förlängd längs axeln) är ellipsens utveckling [1] . I det här fallet har det parametriska uttrycket formen:
![{\displaystyle y=b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^ {\frac {3}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fad30697cd26a5c1288082f34fcc2085490680c)
- Den obestämda integralen av den högra sidan av den sista ekvationen är integralen av differentialbinomialen och är lika med
![{\displaystyle \int b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^ {\frac {3}{2}}dx={\frac {1}{16}}b\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{ \frac {2}{3}}}}\left(-3a{\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}+x\left(14-8\left({\frac { x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)\right)+3a\arcsin \left({\sqrt[{3}]{\frac {x}{a} }}\right)\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae3a4b1c9373b0756313260473ab9282a142f73)
Anteckningar
- ↑ 1 2 3 4 Aleksandrova, 2008 , sid. 17.
- ↑ JJ v. Littrow . §99. Die Astrois // Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. - Wien, 1838. - S. 299.
- ↑ Loria, Gino. Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte . - Leipzig, 1902. - S. 224 .
- ↑ Ekvationen i rektangulära koordinater följer av den parametriska ekvationen och den grundläggande trigonometriska identiteten . Härledningen av den parametriska ekvationen är som följer. Ta hypocykloidekvationen , ersätt k=4. Sinus/cosinus för en trippelvinkel kan utökas med sinus/cosinusformeln för summan, samma sak för sinus/cosinus för en dubbel vinkel. Låt oss ta hänsyn till R=4r och få våra ekvationer.
Litteratur
- Savelov A. A. Plankurvor: Systematik, egenskaper, tillämpningar. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 sid. Återutgiven 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
- Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, beteckningar: Ordbok-referensbok. - 3:e uppl., Rev. — M .: LKI , 2008. — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
| Kurvor | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definitioner | |||||||||||||||||||
| Förvandlad | |||||||||||||||||||
| Icke plan | |||||||||||||||||||
| Platt algebraisk |
| ||||||||||||||||||
| Platt transcendental |
| ||||||||||||||||||
| fraktal |
| ||||||||||||||||||