Differentialbinomial

I matematisk analys är en differential binomial eller binomial differential en differential av formen

x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

där a , b är reella tal , a m , n , p är rationella tal . Av intresse är integralen av differentialbinomen:

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.

Egenskaper

Uttryckbarhet av integralen i elementära funktioner

Integralen av differentialbinomen uttrycks i elementära funktioner endast i tre fall:

$sid$ är ett heltal. Substitutionen används , är den gemensamma nämnaren för bråk och ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ är ett heltal. Substitutionen används , är bråkets nämnare . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $sid$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ är ett heltal. Substitutionen används , är bråkets nämnare . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $sid$

Relation till betafunktionen och den hypergeometriska funktionen

Integralen av differentialbinomialet uttrycks i termer av den ofullständiga betafunktionen :

I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_ {y}\left({\frac {m+1}{n)),p+1\höger),

där , och även genom den hypergeometriska funktionen : $y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$

I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y ^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n)),-p;{\frac {m+1}{ n}}+1;y\right).

Exempel

Väsentlig

\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2))}dx

uttrycks inte i elementära funktioner, här , och inget av de tre villkoren för m, n och p är uppfyllt. $m=0,n=2,p={1 \över 3}$

Samtidigt integralen

\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+ {\sqrt {x^{2}+1)))+C

som vi ser uttrycks det i elementära funktioner, eftersom här , och , det vill säga är ett heltal. $m=0,n=2,p={1 \över 2}$ ${m+1 \over n}+p=1$

Historik

Fallen av uttryckbarhet av differentialbinomial i elementära funktioner var kända även för L. Euler . Emellertid bevisades det outsägliga differentialbinomialet i elementära funktioner i alla andra fall av P. L. Chebyshev 1853 [1] .

Se även

Lista över integraler av elementära funktioner

Anteckningar

↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (franska) // Journal de mathématiques pures et appliquées :tidskrift. - 1853. - Vol. XVIII . - S. 87-111 .

Länkar

Differentialbinomial - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
Integration Of Differential Binomial (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .
Tabeller över obestämda integraler .