Cissoid

En cissoid är en kurva skapad av två givna kurvor C 1 , C 2 kring punkten O ( pol ). Låt L vara en linje som går genom O och skär C 1 vid P 1 och C 2 vid P 2 . Låt P vara en punkt på L så att OP = P 1 P 2 (egentligen finns det två sådana punkter, men P är vald så att P är i samma riktning från O som P 2 från P 1 ). Mängden av sådana punkter P kallas cissoiden av kurvorna C 1 , C 2 med avseende på O .

Lite olika, men i huvudsak likvärdiga definitioner finns hos olika författare. Till exempel kan P definieras av en punkt så att OP = OP1 + OP2 . Denna definition är ekvivalent med den ovan om C 1 ersätts med dess reflektion med avseende på O . Det är också möjligt att definiera P som mitten av P 1 och P 2 . Denna kurva sammanfaller med kurvan från föregående definition med en likhetsfaktor på 1/2.

Ordet "cissoid" kommer från det grekiska språket - kissoeidēs "like murgröna " - från kissos "murgröna" och oeidēs "liknande".

Ekvationer

Om C 1 och C 2 ges i polära koordinater av funktionerna respektive , så definierar ekvationen cissoiden för C 1 och C 2 med avseende på origo. En punkt kan dock representeras på olika sätt i polära koordinater, så det kan finnas andra grenar av cissoiden med andra ekvationer. Speciellt kan Ci definieras som $r=f_{1}(\theta )$ $r=f_{2}(\theta )$ $r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )$

r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ), \ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots

Således är cissoid föreningen av kurvorna som ges av ekvationerna

r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r= f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\

r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots

Vissa av dessa ekvationer kommer att leda till upprepade kurvor och kan utelämnas.

Låt till exempel C 1 och C 2 vara ellipser

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}

Den första grenen av cissoiden ges av ekvationen

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0

det vill säga denna gren är en enda punkt - ursprunget. Ellipsen ges också av ekvationen

r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}

så den andra grenen av cissoiden ges av ekvationen: , och denna kurva har formen av en oval. $r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}$

Om C 1 och C 2 ges av de parametriska ekvationerna

x=f_{1}(p),\ y=px

och

x=f_{2}(p),\ y=px

då ges cissoiden relativt ursprunget av ekvationen: . $x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px$

Särskilda tillfällen

Om C 1 är en cirkel centrerad vid O , så är cissoiden en konchoid av C 2 .

Om C 1 och C 2 är två parallella linjer, så är deras cissoid den tredje linjen parallell med dessa två.

Hyperboler

Låt C 1 och C 2 vara två icke-parallella linjer och låt O vara origo. Låt C 1 och C 2 ges i polära koordinater av ekvationerna

r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}

och

r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}

Vi kan rotera med en vinkel så att vi kan anta att . Sedan ges cissoiden C 1 och C 2 i förhållande till origo av ekvationen $(\alpha _{1}-\alpha _{2})/2$ $\alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha$

r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )))-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )))

={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\ theta-\alpha )}}

={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}

Betecknar konstanta uttryck, vi får

r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}

som i kartesiska koordinater blir

x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy

Denna formel definierar en hyperbel som passerar genom origo. Således är cissoiden av två icke-parallella linjer en hyperbel som passerar genom polen. Liknande resonemang visar, omvänt, att vilken hyperbel som helst är en cissoid av två icke-parallella linjer med avseende på vilken punkt som helst på hyperbeln.

Zaradniks cissoider

Zaradniks cissoid (uppkallad efter Karel Zaradnik ) definieras som cissoiden av en konisk sektion och en linje med avseende på någon punkt på sektionen. Dessa cissoider bildar en bred familj av rationella kubiska kurvor, av vilka några är välkända. Särskilt:

Maclaurin trisectrix , ges av formeln

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

är cissoiden i en cirkel och en linje om ursprunget.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x={-{a \over 2}}

Höger strophoid

y^{2}(a+x)=x^{2}(ax)

är cissoiden i en cirkel och en linje om ursprunget.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x=-a

Cissoid av Diocles

x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0

är cissoiden i en cirkel och en linje om ursprunget. I själva verket är det här kurvan som familjen är uppkallad från, och vissa författare hänvisar till den helt enkelt som en cissoid.

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

x=-2a

Cissoid av en cirkel och en rät linje , där k är en parameter. Cissoiden kallas Sluze conchoid (dessa kurvor är inte riktiga conchoider). Denna familj inkluderar de tidigare exemplen. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))$ $x=ka$

Kartesiskt ark

x^{3}+y^{3}=3axy

är ellipsens cissoid och en rät linje med avseende på ursprunget. För att visa detta noterar vi att linjen kan definieras som

x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)

x+y=-a

x=-{\frac {a}{1+p)),\ y=px

, och ellipsen kan ges som

x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px

. Så cissoiden ges av ekvationen

x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{ 1+p^{3}}},\ y=px

och denna ekvation är det parametriska bladhandikappet.

Se även

Litteratur

Savelov A.A. Platta kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar (Referensguide). - Moskva: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1960. - 293 sid.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Handbok för teorin om plankurvor av tredje ordningen. - Moskva: Fizmatgiz, 1961. - 263 s.
J. Dennis Lawrence. En katalog med speciella plankurvor . - Dover Publications, 1972. - S. 53-56 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Cissoid (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
CA Nelson "Anmärkning om rationell plan kubik" Bull. amer. Matematik. soc. Volym 32, nummer 1 (1926), 71-76.
2D-kurvor
"Courbe Cissoïdale" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (på franska)
"Cissoïdales de Zahradnik" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (på franska)

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta