Styckvis linjär funktion

En styckvis linjär funktion är en funktion definierad på mängden reella tal , linjär på vart och ett av de intervall som utgör definitionsdomänen .

Formell definition och tilldelning

Låt — ändringspunkter för formler ges. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Liksom alla styckvis definierade funktioner anges vanligtvis en styckvis-linjär funktion på vart och ett av intervallen med en separat formel. Skriv det i formuläret: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty)$ $f(x)={\begin{cases}k_{0}x+b_{0},\quad x<x_{1}\\k_{1}x+b_{1},\quad x_{1}< x<x_{2}\\\cdots \\k_{n}x+b_{n},\quad x_{n}<x\end{cases}}$

Om dessutom matchningsvillkoren är uppfyllda

k_{i}x_{i}+b_{i}=k_{{i+1}}x_{i}+b_{{i+1}}=f(x_{i})

vid ,

i=1,2,\ldots ,n-1

då kommer den bitvis linjära funktionen att vara kontinuerlig . En kontinuerlig styckvis linjär funktion kallas också en linjär spline .

Alternativ Quest

Det kan bevisas att vilken kontinuerlig, bitvis linjär funktion som helst kan definieras av någon formel i formen

f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+\ldots +c_{n}|x-x_{n}|

I detta fall kan alla koefficienter, utom b , uttryckas i termer av lutningskoefficienterna för de räta linjerna med separata intervall:

c_{i}={\frac {k_{i}-k_{{i-1}}}{2}}

, kl

i=1,2,\ldots ,n

a={\frac {k_{0}+k_{n}}{2}}

Egenskaper

Vilken kontinuerlig funktion som helst kan approximeras godtyckligt nära med en bitvis linjär funktion (i en kontinuerlig metrik).

Ett exempel på en bitvis linjär funktion

Grafen för funktionen i figuren ges analytiskt som:

f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if}}\ x\leq -3\\x+3&{\text{if}}\ -3<x<0 \\-2x+3&{\text{if}}\ 0\leq x<3\\0.5x-4&{\text{if}}\ x\geq 3\end{cases}}

Källor

Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 272-274. — 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .
Styckvis linjär funktion // Economic and Mathematical Dictionary: Dictionary of Modern Economic Science. - M .: Affärer. L. I. Lopatnikov. 2003.

Länkar

Uppgifter på ämnet: Styckvis linjära funktioner.