Kurva

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 maj 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En kurva eller linje är ett geometriskt begrepp som definieras olika i olika delar av matematiken .

Elementär geometri

Inom ramen för elementär geometri får begreppet kurva ingen distinkt formulering. Till exempel, i Euklids "Element" definierades det som "längd utan bredd", och ibland definierades det också som "gränsen till en figur."

I huvudsak, i elementär geometri, är studiet av kurvor reducerat till övervägande av exempel ( rät linje , segment , bruten linje , cirkel , etc.). I brist på allmänna metoder, penetrerade elementär geometri ganska djupt i studiet av egenskaperna hos betongkurvor ( koniska sektioner , några algebraiska kurvor av högre ordning och några transcendentala kurvor ), och tillämpade speciella tekniker i varje fall.

Definition i topologi

Linjesegmentvisning

Oftast definieras en kurva som en kontinuerlig mappning från ett linjesegment till ett topologiskt utrymme :

\gamma \colon [a,b]\to X

I det här fallet kan kurvorna vara olika, även om deras bilder är desamma. Sådana kurvor kallas parametriserade kurvor eller, om , banor . $[a,b]=[0,1]$

Ekvivalensrelation

Ibland definieras en kurva fram till en omparametrisering , det vill säga upp till en minsta ekvivalensrelation så att de parametriska kurvorna

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

och

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

är ekvivalenta om det finns en kontinuerlig monoton funktion (ibland icke-minskande) från segmentet till segmentet , så att $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.

Ekvivalensklasserna som definieras av denna relation kallas icke-parametriserade kurvor eller helt enkelt kurvor .

Kommentar

Ovanstående definition tillåter oss till stor del att förmedla vår intuitiva idé om en kurva som något "ritat utan att lyfta pennan", förutsatt att det är möjligt att rita oändligt långa sektioner. Det bör noteras att många figurer som är svåra att betrakta som kurvor också kan "ritas utan att lyfta pennan".

Det är till exempel möjligt att konstruera en sådan kontinuerlig avbildning av ett segment till ett plan att dess bild fyller en kvadrat (se Peano-kurva ). Dessutom, enligt Mazurkiewiczs teorem , är varje kompakt sammankopplat och lokalt sammankopplat topologiskt utrymme en kontinuerlig bild av ett segment. Således är inte bara en kvadrat utan också en kub av valfritt antal dimensioner och även en Hilbert-tegelsten kontinuerliga bilder av ett linjesegment.

Eftersom en bild (figur) kan erhållas genom olika mappningar av ett segment (kurvor), kan i det allmänna fallet en kurva inte definieras som en kontinuerlig bild av ett segment, om inte ytterligare begränsningar åläggs kartläggningen.

Curve Jordan

En Jordan -kurva eller en enkel kurva är bilden av en kontinuerlig injektiv kartläggning ( inbäddning ) av en cirkel eller ett segment i rymden. I fallet med en cirkel kallas kurvan en sluten Jordan-kurva , och i fallet med ett segment kallas den en Jordanbåge .

Den välkända Jordan-satsen säger att varje stängd Jordan-kurva på ett plan delar upp den i en "inre" och en "yttre" del.

Jordankurvan är ett ganska komplext objekt. Till exempel är det möjligt att konstruera en plan Jordan-kurva med ett Lebesgue -mått som inte är noll , vilket gjordes av Osgood [1] i analogi med Peano-kurvan .

Definition i analys

I matematisk analys används ofta definitionen av en jämn kurva . Låt oss först definiera en plan kurva (det vill säga en kurva i ). Låta och vara funktioner på intervallet , som är kontinuerligt differentierbara på detta intervall och sådana att för inget t är lika med noll. Sedan definierar kartläggningen en kurva som är jämn; en icke-parametriserad kurva sägs vara jämn om den tillåter en sådan parametrisering. Längden på en jämn kurva kan beräknas med hjälp av formeln $\mathbb R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Denna definition kan generaliseras till mappningar till andra utrymmen, såväl som till mappningar av en annan klass av jämnhet, se nedan.

Definition i differentialgeometri

Om är ett jämnt grenrör , kan man definiera en jämn kurva på som en jämn karta vars differential ingenstans försvinner. Om jämnhetsklassen för grenröret är , så introduceras -kurvan som en kurva för vilken är en gånger kontinuerligt differentierbar karta. Om är ett analytiskt grenrör (till exempel euklidiskt utrymme ) och är en analytisk karta , kallas kurvan analytisk. $X$ $X$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $X$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $X$ $\gamma$

Jämna kurvor och kallas ekvivalenta om det finns en diffeomorfism (parameterändring) så att . Ekvivalensklasser med avseende på denna relation kallas icke-parametriserade jämna kurvor. $\gamma _{1}\colon I\to X$ $\gamma _{2}\colon J\to X$ $p\colon I\to J$ $\gamma_1=\gamma_2\cirkel sid$

Algebraiska kurvor

Algebraiska kurvor studeras i algebraisk geometri . En plan algebraisk kurva är en uppsättning punkter med koordinater x , y , en given uppsättning lösningar till ekvationen f ( x , y ) = 0, där f är ett polynom i två variabler med koefficienter i fältet F . I algebraisk geometri tar man vanligtvis inte bara hänsyn till punkter vars koordinater tillhör F , utan även punkter med koordinater i den algebraiska stängningen av F . Om C är en plan algebraisk kurva så att koefficienterna för polynomet som definierar den ligger i fältet F , kallas det en kurva definierad över F . Punkter i en kurva definierad över F vars alla koordinater tillhör G kallas rationella över G (eller helt enkelt G -punkter). Exempel: kurvan x 2 + y 2 + 1 = 0, definierad över reella tal, har punkter, men ingen av dem är en reell punkt.

Algebraiska kurvor kan också definieras i högre dimensionella utrymmen ; de definieras som en uppsättning lösningar till ett system av polynomekvationer .

Vilken plankurva som helst kan kompletteras till en kurva i det projektiva planet . Om en plan kurva definieras av ett polynom f ( x , y ) av full grad d , så är polynomet

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

efter parentes expansion förenklas till ett homogent polynom f ( x , y , z ) av grad d . Värden x , y , z så att f ( x , y , z ) = 0 är homogena koordinater för fullbordandet av den plana kurvan, medan punkterna i den ursprungliga kurvan är de punkter för vilka z inte är lika med noll. Exempel: Fermatkurvan x n + y n = z n i affin form blir x n + y n = 1. Övergångsprocessen från en affin kurva till en projektiv kan generaliseras till högre dimensioner.

Vanliga exempel på plana kurvor är koner (kurvor av andra ordningen) och elliptiska kurvor , som har viktiga tillämpningar inom kryptografi . Som exempel på algebraiska kurvor som ges av ekvationer med högre grader kan man ange följande:

Kurvor av fjärde ordningen: Bernoullis lemniscat och Cassinis oval .
Kurvor av sjätte ordningen: astroiden och nefroiden .
Kurva definierad av en ekvation av godtycklig jämn grad: (multifokal) lemniscate .

Transcendenta kurvor

Transcendentala kurvor är kurvor som inte är algebraiska. Mer exakt är transcendentala kurvor kurvor som kan definieras som nivålinjen för en analytisk men inte en algebraisk funktion (eller, i det flerdimensionella fallet, ett system av funktioner). Exempel på transcendentala kurvor:

Kurvtyper

En sluten kurva är en kurva vars början sammanfaller med slutet.
En plan kurva är en kurva vars alla punkter ligger i samma plan.
En enkel kurva är detsamma som en Jordan-kurva.
En väg är en kontinuerlig kartläggning av ett segment till ett topologiskt utrymme . $[0,1]$

Typer av punkter på en kurva

Generaliserade kurvor

En mer allmän definition av en kurva för planfallet gavs av Cantor på 1870-talet:

En Cantor-kurva är en kompakt sammankopplad delmängd av planet så att dess komplement är tätt överallt .

Ett viktigt exempel på en Cantor-kurva är Sierpinski-mattan . Oavsett Cantor-kurvan kan den bäddas in i en Sierpinski-matta, det vill säga Sierpinski-mattan innehåller en delmängd som är homeomorf till . Sierpinski-mattan är alltså en universell platt Cantor-kurva. $L$ $L'$ $L$

Denna definition generaliserades därefter av Uryson :

En Urysohn-kurva är ett sammankopplat kompakt topologiskt utrymme med topologisk dimension 1. $C$

Sierpinski-mattan uppfyller denna definition, så vilken Cantor-kurva som helst är också en Urysohn-kurva. Omvänt, om en platt sammankopplad kompakt uppsättning är en Urysohn-kurva, så är det en Cantor-kurva.

Se även

Anteckningar

↑ WF Osgood. En Jordan-kurva med positivt område (engelska) // Trans. Am. Matematik. Soc.. - 1903. - Vol. 4 . — S. 107–112 .

Litteratur

Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. - M . : Nauka, 1982. - 160 sid.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. En kurs i metrisk geometri. - Moskva, Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - 496 s. — (Modern matematik). — ISBN 5-93972-300-4 .
Mathematical Encyclopedic Dictionary . M. " Sovjetisk uppslagsverk " , 1988
Kurvor // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Länkar

Frätande _
Ytor , kurvor
speciella plankurvor [1] (rus.)

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta