Ekvivalensförhållande

En ekvivalensrelation är en binär relation mellan elementen i en given mängd, vars egenskaper liknar egenskaperna för likhetsrelationen .

Definition

En ekvivalensrelation ( ) på en mängd är en binär relation , för vilken följande villkor är uppfyllda för något av dem: $\sim$ $X$ $a,b,c$ $X$

reflexivitet : ; $a\sim a$
symmetri : om , då ; $a\sim b$ $b\sim a$
transitivitet : om och , då . $a\sim b$ $b\sim c$ $a\sim c$

En post som " " läses som " motsvarar ". $a\sim b$ $a$ $b$

Relaterade definitioner

En elementekvivalensklass är en delmängd av element som är ekvivalenta med ; det är, $[a]\subset X$ $a\in X$ $a$

{\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\))

Av definitionen ovan följer omedelbart att om , då . $b\in[a]$ $[a]=[b]$

En faktormängd är en uppsättning av alla ekvivalensklasser för en given mängdmed avseende på en given relation, betecknad med. $X$ $\sim$ $X/{\sim }$

Följande notation används för elementekvivalensklassen : , , . $a$ $[a]$ $a/{\sim }$ ${\overline {a}}$

Uppsättningen av ekvivalensklasser med avseende på är en partition av uppsättningen . $\sim$

Exempel

Jämlikhet (" "), en trivial ekvivalensrelation på vilken som helst uppsättning, i synnerhet, av reella tal . $=$
Modulo jämförelse : a ≡ b (mod n).
I euklidisk geometri
- Kongruensrelation ( " "). $\kong$
- Likhetsförhållande ( " "). $\sim$
- Förhållandet mellan linjers parallellitet (" ") (om vi betraktar varje linje parallell med sig själv). $\|$
Motsvarighet av funktioner i matematisk analys : En funktion sägs vara ekvivalent med en funktion för om den tillåter en representation av formen , där för . I det här fallet skriver de , och påminner vid behov om att vi pratar om att jämföra funktioner med . Om för är ekvivalensen av funktioner och för uppenbarligen ekvivalent med relationen . $f(x)$ $g(x)$ $x\högerpil x_{0}$ $f(x)=\alpha (x)g(x)$ $\alpha (x)\rightarrow 1$ $x\högerpil x_{0}$ $f(x)\sim g(x)$ $x\högerpil x_{0}$ $g(x) \ne 0$ ${\displaystyle x\neq x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x\högerpil x_{0}$ $\lim _{{x\högerpil x_{0}}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=1$
Likvärdighet av normer på ett vektorrum.
Ekvivalensförhållande mellan mängder .
Isomorfism av grupper , ringar , vektorutrymmen
Likvärdighet mellan kategorier .
En isomorfism i någon kategori definierar en ekvivalensrelation för denna kategori.
Ekvivalens av släta atlaser av ett slätt grenrör .

Ekvivalensklasser

Mängden av alla ekvivalensklasser som motsvarar ekvivalensrelationen betecknas med symbolen och kallas faktormängden med avseende på . I det här fallet den surjektiva kartläggningen $\sim$ $X/{\sim }$ $\sim$

p\colon x\mapsto[x]

kallas den naturliga avbildningen (eller kanonisk projektion ) på kvotmängden . $X$ $X/{\sim }$

Låt och vara mängder, vara en mappning, sedan den binära relationen definierad av regeln $X$ $Y$ $f\kolon X\till Y$ $x\sim y$

x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X

är ett ekvivalensförhållande på . I det här fallet inducerar mappningen den mappning som definieras av regeln $X$ $f$ ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$

{\overline {f}}([x])=f(x)

eller, vilket är detsamma,

(\overline {f}\circ p)(x)=f(x)

Detta resulterar i en faktorisering av mappningen till en surjektiv mappning och en injektiv mappning . $f$ $sid$ $\overline {f}$

Se även

Toleransrelationen är en försvagad form av ekvivalens.
Ekvivalens är en logisk operation.
Lika tecken .

Litteratur

A. I. Kostrikin , Introduktion till algebra. M .: Nauka, 1977, 47-51.
A. I. Maltsev , Algebraic Systems, Moscow : Nauka, 1970, sid. 23-30.
Jämlikhetstypsrelation (ekvivalensrelation) // Stora sovjetiska encyklopedin (i 30 volymer) / A. M. Prokhorov (chefredaktör). - 3:e uppl. - M . : Sov. Encyclopedia, 1974. - T. XVIII. - S. 629. - 632 sid.