Analytisk funktion

En analytisk funktion av en reell variabel är en funktion som sammanfaller med dess Taylor-serie i närheten av någon punkt i definitionsdomänen.

En funktion med en enda värden kallas analytisk vid en punkt om begränsningen av funktionen till något område är en analytisk funktion. Om en funktion är analytisk vid en punkt , så är den analytisk vid varje punkt i någon grannskap av punkten . $f$ $z_{0}$ $f$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

En envärdig analytisk funktion av en komplex variabel är en funktion för vilken ett av de fyra ekvivalenta villkoren är uppfyllt i någon enkelt ansluten domän , kallad analyticitetsdomänen: $F Z)$ $A\subset {\mathbb C}$

Taylor-serien av funktionen konvergerar vid varje punkt , och dess summa är ( analyticitet i betydelsen Weierstrass ). $z\in A$ $F Z)$
Vid varje punkt , Cauchy-Riemann villkor och är nöjda. Här , och är de verkliga och imaginära delarna av den funktion som övervägs. ( Analytisk i Cauchy-Riemann mening .) $z=x+iy\i A$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
En integral för varje sluten kurva ( analyticitet i Cauchy-bemärkelse ). $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \delmängd A$
Funktionen är holomorf i domänen . Det vill säga, det är komplext differentierbart vid varje punkt . $F Z)$ $A$ $F Z)$ $z\in A$

Förloppet av komplex analys bevisar motsvarigheten av dessa definitioner.

Egenskaper

Aritmetiska egenskaper

Om och är analytiska i domänen $F Z)$ $g(z)$ $G\subset \mathbb {C}$

Funktionerna och är analytiska i . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $G$
Om det inte försvinner i regionen kommer det att vara analytiskt in $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G$
Om det inte försvinner i regionen kommer det att vara analytiskt i . $F Z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

En analytisk funktion är oändligt differentierbar i sitt analytiska domän. För komplexa funktioner av en variabel är det omvända också sant.

Vissa egenskaper hos analytiska funktioner ligger nära egenskaperna hos polynom , vilket dock inte är förvånande - definitionen av analyticitet i betydelsen Weierstrass indikerar att analytiska funktioner på något sätt begränsar varianter av polynom. Antag, enligt den grundläggande satsen i algebra , vilket polynom som helst kan ha nollor högst sin grad. För analytiska funktioner är ett liknande uttalande sant, vilket följer av unikhetssatsen i en alternativ form:

Om uppsättningen nollor för en funktionsanalys i en enkelt ansluten domän har en gränspunkt i denna domän , då är funktionen identiskt lika med noll.
För en funktion av flera reella variabler räcker det inte att vara analytisk med avseende på var och en av variablerna för att funktionen ska vara analytisk. För en funktion av flera komplexa variabler räcker det att vara analytisk med avseende på var och en av variablerna för att funktionen ska vara analytisk ( Hartogs sats ).

Exempel

Alla polynom i z är analytiska funktioner på hela planet . $\mathbb {C}$

Vidare är analytiska, även om de inte är på hela det komplexa planet, rationella funktioner , exponentialfunktion , logaritm , trigonometriska funktioner , inversa trigonometriska funktioner och många andra klasser av funktioner, såväl som summor, skillnader, produkter, partiella analytiska funktioner.

Exempel på icke-analytiska funktioner på inkluderar $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\överlinje {z}$ ,

eftersom de inte har en komplex derivata vid något tillfälle. I detta fall kommer begränsningen till den reella axeln att vara en analytisk funktion av den reella variabeln (eftersom den helt sammanfaller med begränsningen av funktionen ). $f(z)=\överlinje {z}$ $f(z)=z$

Se även

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Per. från engelska. - 2:a uppl., reviderad. — M .: Nauka , 1980 . — 464 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: En manual för högre utbildning. - M. - L .: Statens förlag, 1927 . — 316 sid.
Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.
Conway, John B. Funktioner av en komplex variabel I. — 2:a. - Springer-Verlag , 1978. - ( Graduate Texts in Mathematics 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Enprimer av verkliga analytiska funktioner . — 2:a. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Analytisk funktion , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Analytic Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Lösare för alla nollor i en komplex analytisk funktion som ligger inom ett rektangulärt område av Ivan B. Ivanov

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska stor kines Stor ryss Moderna Ukraina
I bibliografiska kataloger	BNF : 119507313 J9U : 987007294737305171 LCCN : sh85004784 NDL : 00564621 NKC : ph114039