Loyasevichs ojämlikhet

Lojasiewiczs ojämlikhet är en ojämlikhet som fastställts av den polske matematikern Stanisław Lojasiewicz ( polska: Stanisław Łojasiewicz ), som ger en övre gräns för avståndet från en punkt i en godtycklig kompaktmängd till nollnivåmängden för en reell analytisk funktion av många variabler . Denna ojämlikhet har funnit tillämpningar inom olika grenar av matematiken, inklusive verklig algebraisk geometri, analys och teorin om differentialekvationer [1] [2] .

Formulering

Låt funktionen vara verklig analytisk på en icke-tom öppen mängd och låt vara mängden nollor för funktionen . Om mängden är icke-tom, så finns det konstanter för alla icke-tom kompakta mängder och sådana att olikheten $f:U\to \mathbb{R}$ $U\subset \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ $f$ $Z$ $K\delmängd U$ $\alpha \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

vars antal kan vara ganska stort. $\alfa$

Dessutom, för varje punkt finns det en tillräckligt liten omgivning av den och sådana konstanter och , att den andra Loyasevichs ojämlikhet gäller ː $p\in U$ $W\delmängd U$ $0<\beta<1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

Det följer uppenbarligen av den andra olikheten att det för varje kritisk punkt i en verklig analytisk funktion finns en grannskap så att funktionen har samma värde vid alla kritiska punkter i denna grannskap.

Litteratur

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Lojasiewicz ojämlikheter och tillämpningar, arXiv:1402.5087 Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine
Malgrange B. Ideal för differentierbara funktioner. — M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets , Publications Mathématiques de l'IHÉS (nr 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Arkiverad 8 augusti 2014 på Wayback Machine
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz ojämlikhet för algebraiska varieteter , Transactions of the American Mathematical Society vol 329 (2 ) : 813–818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org . /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Arkiverad 1 november 2015 på Wayback Machine

Loyasevichs ojämlikhet

Formulering

Litteratur

Anteckningar