Rationell funktion

En rationell funktion, eller en bråkdel rationell funktion, eller en rationell bråkdel är en numerisk funktion som kan representeras som ett bråk, vars täljare och nämnare är polynom . , det vill säga ett algebraiskt uttryck , utan radikaler kan reduceras till denna form .

Formell definition

En rationell funktion [1] [2] , eller en bråkdel rationell funktion [1] [3] , eller en rationell bråkdel [3] är en numerisk funktion av formen

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

var är komplexa ( ) eller reella ( ) tal, är ett rationellt uttryck för . Ett rationellt uttryck är ett matematiskt uttryck som består av en oberoende variabel (komplex eller reell) och en ändlig uppsättning tal (respektive komplexa eller reella) med ett ändligt antal aritmetiska operationer (det vill säga addition , subtraktion , multiplikation , division och höjning till en heltalspotens ) [4] . $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R(u)$ $u$

En rationell funktion kan skrivas (inte unikt) som ett förhållande mellan två polynom och : $P(u)$ $Q(u)$

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+ \cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},

där koefficienter för en rationell funktion är koefficienterna för polynom och : $Q(u)\not \equiv 0.$ $P(u)$ $Q(u)$

a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}

och [4] .

{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))

Specialfall

En hel rationell funktion är en funktion av formen

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1)),

där variabeln är reell.

x

Linjär bråkfunktion - förhållandet mellan två linjära funktioner av en komplex variabel:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)).

Cayley transformerar

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {zi}{z+i)).

Zhukovsky-funktionen är en rationell funktion av en komplex variabel

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right ),

som har viktiga tillämpningar inom hydromekanik , upptäckt av N. E. Zhukovsky [5] .

Generaliseringar

Rationella funktioner av flera variabler (komplexa eller reella)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n, m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m} )}},

där [4] .

Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0

Abstrakta rationella funktioner

R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_ {2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},

där är ett linjärt oberoende system av kontinuerliga funktioner på något kompakt utrymme , och är numeriska koefficienter [4] .

{\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)))

A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},

{\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m))

Verklig rationell funktion

Irreducible rationell bråkdel

Ett irreducerbart rationellt bråk är ett rationellt bråk där täljaren är relativt primtal till nämnaren [3] .

Varje rationell bråkdel är lika med någon irreducerbar bråkdel, som bestäms upp till en konstant gemensam för täljaren och nämnaren. Likheten mellan två rationella bråk förstås i samma mening som bråkens likhet i elementär matematik [3] .

Bevis

Först bevisar vi att om produkten av polynom och är delbar med , och och är coprime, då är den delbar med $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ [6] .

1. Det är känt att polynom och är relativt primtal om och endast om det finns polynom och sådana att $f(x)$ $\varphi(x)$ $u(x)$ $v(x)$

f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.

2. Multiplicera denna likhet med : $g(x)$

[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Båda termerna för denna likhet är delbara med , är därför också delbara med . $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$

Nu, med hjälp av detta, kommer vi att bevisa att varje rationell bråkdel är lika med någon irreducerbar bråkdel, som bestäms upp till en konstant gemensam för täljaren och nämnaren [3] .

1. Varje rationell bråkdel kan reduceras med den största gemensamma delaren av dess täljare och nämnare.

2. Vidare, om två irreducerbara fraktioner är lika:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))),

det är

f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).

sedan:

av ömsesidig enkelhet följer att den är delbar med ; $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$
av cosimplicity följer att är delbart med . $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$

Som ett resultat får vi det $f(x)=c\varphi(x).$

3. Ersätt det sista uttrycket med det ursprungliga, vi får:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

eller

g(x)=c\psi(x).

Så det fick vi

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x))).

Egen rationell bråkdel

Ett rationellt bråk är korrekt om graden av täljaren är mindre än graden av nämnaren. Nollpolynom 0 är en egen bråkdel. Vilket rationellt bråk som helst kan representeras på ett unikt sätt som summan av ett polynom och ett egenbråk [3] .

Bevis

Låt oss bevisa det sista påståendet [3] .

1. För vilket rationellt bråk som helst , dividerat med täljaren med nämnaren, får vi: ${\frac {f(x)}{g(x)))$

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

och graden är mindre än graden . Dividera båda sidor av likheten med , vi får att en rationell bråkdel är summan av ett polynom och ett egenbråk: $r(x)$ $g(x).$ $g(x)$

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x))).

2. Låt oss bevisa det unika med denna representation. Om följande likhet också gäller:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x))),

där graden också är mindre än graden , då subtraherar vi: $\varphi(x)$ $\psi (x)(x)$

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)))= {\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x))).

3. Till vänster om den sista likheten finns ett polynom. Eftersom graden är mindre än graden och graden är mindre än graden , så finns det till höger om den sista jämställdheten en egen bråkdel, därför $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $r(x)$ $g(x)$ $q(x)-q'(x)=0$

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))-{\frac {r(x)}{g(x)))=0.

Den enklaste rationella bråkdelen

En riktig rationell bråkdel är enklast om dess nämnare är graden av ett irreducerbart polynom : ${\frac {f(x)}{g(x)))$ $g(x)$ $p(x)$

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

och graden av täljaren är mindre än graden av . Det finns två satser [3] . $f(x)$ $p(x)$

Huvudsats. Varje riktig rationell bråk sönderdelas till en summa av enkla bråk.
Unikitetsteorem. Varje riktig rationell bråkdel har en unik expansion till en summa av enkla bråk.

Nedbrytning av ett egentligt rationellt bråk till en summa av enkla bråk

Expansionen av en riktig rationell bråkdel till en summa av enkla bråk används i många problem, till exempel:

vid integration [7] ;
när den utökades i en Taylor-serie [8] ;
när den utökades i en Laurent-serie [9] ;
vid beräkning av den inversa Laplacetransformen av en rationell bråkdel [10] .

Exempel

Exempel. Expandera ett verkligt egenbråk till en summa av enkla bråk där [3] : ${\frac {f(x)}{g(x)))),$

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,

g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.

Lösning. 1. Det är lätt att kontrollera det

g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),

och är irreducerbara. $x+2,$ $x-1,$ $x^{2}+1$

2. Låt oss använda metoden för obestämda koefficienter . Det följer av huvudsatsen att den önskade expansionen har följande form:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}} }+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.

Det återstår att hitta siffrorna och $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E.$

3. Låt oss reducera expansionsprojektet till en gemensam nämnare, vi får:

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=

=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+

+B(x+2)(x^{2}+1)+

+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+

+Dx(x+2)(x-1)^{2}+

+E(x+2)(x-1)^{2}.

Du kan få ett system med fem linjära ekvationer med fem okända , och likställa koefficienterna med samma potenser från båda delarna av den sista likheten. Dessutom följer det av huvudsatsen och unikhetssatsen att detta system med fem ekvationer har en unik lösning. $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E,$ $x$

4. Låt oss använda en annan metod. Om vi antar att vi får den sista jämlikheten varifrån vi antar att vi får det är att anta oberoende och vi får systemet $x=-2,$ $45A=135,$ $A=3.$ $x=1,$ $6B=6,$ $B=1.$ $x=0$ $x=-1,$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.

Härifrån Let 's get Systemet uppstår $D=1.$ $x=2,$ $20C+4E=-52.$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.

varifrån _ $C=-2,$ $E=-3.$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}} }-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.

Egenskaper

Alla uttryck som kan erhållas från variabler med fyra aritmetiska operationer är en rationell funktion. $x_1,\dots,x_n$
Uppsättningen av rationella funktioner stängs under aritmetiska operationer och sammansättningsoperationen och är också ett fält om polynomens koefficienter tillhör något fält.

Egna bråk

Varje rationell bråkdel av polynom med reella koefficienter kan representeras som summan av rationella bråk, vars nämnare är uttrycken ( - reell rot ) eller (där den inte har några reella rötter), och graden inte är större än multipliciteten av motsvarande rötter i polynomet . På grundval av detta påstående baseras ett teorem om integrerbarheten av en rationell bråkdel. Enligt den kan vilket rationellt bråk som helst integreras i elementära funktioner, vilket gör klassen av rationella bråk mycket viktig i matematisk analys. $(xa)^{k}$ $a$ $Q(x)$ $(x^{2}+px+q)^{k}$ $x^{2}+px+q$ $k$ $Q(x)$

Detta är kopplat till metoden att extrahera den rationella delen i antiderivatet från den rationella fraktionen , som föreslogs 1844 av M. V. Ostrogradsky [11] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics , vol. 2, 1979 , st. 387.
↑ Privalov I. I. Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel, 2009 , sid. 226.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 2021 , sid. 161-165.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Mathematics , vol. 4, 1984 , st. 917-918.
↑ Mathematical Encyclopedia , vol. 2, 1979 , st. 426.
↑ Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 2021 , sid. 141-142.
↑ Zorich V. A. Matematisk analys. Del I, 2019 , sid. 292-295.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , sid. 50-51.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , sid. 62-63.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , sid. 125.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fraktions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Vol. IV. — Överste. 145-167, 286-300.

Litteratur

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funktioner av en komplex variabel. operativ kalkyl. Teori om stabilitet. M.: Nauka, 1971. 255 s., 77 illustrationer, bibl. 15 titlar.
Kurosh A. G. En kurs i högre algebra: en lärobok för universitet. 22:a uppl., ster. St Petersburg: Lan, 2021. 431 s.: ill. ISBN 978-5-8114-6851-5 .
Matematisk uppslagsverk : Kap. ed. I.M. Vinogradov , vol. 2 D-Koo. M .: "Sovjetiska encyklopedien", 1979. 1104 stb., Ill.
Matematisk uppslagsverk : Kap. ed. I. M. Vinogradov , vol. 4 Ok-Slo. M .: "Sovjetisk uppslagsverk", 1984. 1216 stb., Ill.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: lärobok. 15:e uppl., ster. St Petersburg: Lan, 2009. 432 s.: ill. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. 10:e uppl., Rev. M.: MTsNMO, 2019. xii + 564 s., ill. 65, bibl. 54 titlar 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (del I).