Metod för obestämda koefficienter

Metoden med obestämda koefficienter är en metod som används inom matematiken för att hitta den önskade funktionen som en exakt eller ungefärlig linjär kombination av en ändlig eller oändlig uppsättning basfunktioner. Den angivna linjära kombinationen tas med okända koefficienter, som på ett eller annat sätt bestäms utifrån förhållandena för det aktuella problemet. Vanligtvis erhålls ett system av algebraiska ekvationer för dem .

Applikationer

Nedan är de problem som löses med metoden med obestämda koefficienter. Ekvationssystemet i dem erhålls genom att likställa koefficienterna med samma potenser i lika polynom.

Nedbrytning av en bråkdel till enklaste

Ett klassiskt exempel på tillämpningen av metoden med obestämda koefficienter är nedbrytningen av en riktig rationell fraktion i en komplex eller reell region till enkla fraktioner .

Låta och vara polynom med komplexa koefficienter, och graden av polynomet är mindre än graden av polynomet . Vi kommer att anta att graden av polynomet är , koefficienten för den ledande termen av polynomet är 1, och , är olika rötter av polynomet med multipliciteter , respektive. Därför har vi $P$ $F$ $P$ $F$ $F$ $n$ $F$ $z_{k}$ $k\leq n$ $F$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

Funktionen är representerad, och dessutom på ett unikt sätt, som en summa av enkla bråk $P/F$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\summa _{i=1}^{k}\summa _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

där är fortfarande okända komplexa tal (deras antal är lika med ). För att hitta dem reduceras båda delarna av jämlikheten till en gemensam nämnare. Efter dess förkastande och reduktion på höger sida av liknande termer erhålls en likhet, som reduceras till ett system av linjära ekvationer med avseende på . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Obs ! Att hitta koefficienterna är förenklat om det bara har icke-multipelrötter , , dvs. allt och $F$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

Efter att ha multiplicerat med den sista likheten och substituerat får vi direkt värdet på motsvarande koefficient ${\displaystyle z-z_{k))$ ${\displaystyle z=z_{k))$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integration

Vid beräkning av den obestämda integralen av en rationell funktion används metoden för obestämda koefficienter vid nedbrytning av en bråkdel till en summa av de enklaste, som beskrivits ovan, såväl som i Ostrogradsky-metoden , som används om rötterna till nämnaren för en bråkdel har en stor mångfald. Det används också när man integrerar irrationaliteter i formen

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))},$

där är ett polynom av grad n. Sedan $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

Efter att ha differentierat denna likhet, löst ekvationssystemet, bestäm de obestämda koefficienterna för polynomet av grad n-1, samt [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

Serieinversion

Om en funktion som inte är lika med noll vid expanderas i en Maclaurin-serie : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

då finns det en Maclaurin-serie med motsatt funktion:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Koefficienterna för denna serie kan hittas genom att multiplicera dessa två likheter och tillämpa metoden för obestämda koefficienter. Ett oändligt triangulärt system av linjära ekvationer kommer att erhållas, från vilket de erforderliga koefficienterna kommer att hittas successivt.

På ett liknande, men mer besvärligt sätt, kan du hitta koefficienterna för den omvända funktionsserien :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

I det här fallet används förhållandet , det vill säga hela serien för ersätts med serien för . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $x$ $g(x)$

Summan av potenser

Som ett särskilt exempel kan vi nämna problemet med att hitta en formel för k-te grader: . Vi kommer att leta efter svaret i form av ett polynom av den e graden av . Koefficienterna för detta polynom kan hittas med metoden för obestämda koefficienter. $\sum _{i=0}^{n}i^{k}$ $k+1$ $n$

Exempel . Söker i formuläret . ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3))$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Per definition , liksom . Genom att ersätta polynomet i reducerad form och likställa koefficienterna med samma potenser får vi ett system för att bestämma dem: ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3))$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\end{fall}},

där får vi svaret: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Att hitta en speciell lösning på en inhomogen differentialekvation

På sätt och vis är den här applikationen en generalisering av den föregående - i så fall söktes lösningen av differensekvationen, men här sökes lösningen av ekvationen . ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3))$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

Vanligtvis används metoden med obestämda koefficienter i fall där höger sida är ett algebraiskt eller trigonometriskt polynom.

Anteckningar

↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analys. - M . : Högre skola , 1970. - T. 1. - S. 369-370. — 50 000 exemplar.

Länkar

Intressanta exempel: fraktionsupplösning