Pseudosfär

Pseudosphere (eller Beltrami yta ) - en yta med konstant negativ krökning som bildas av rotationen av tractrix runt dess asymptote . Namnet understryker likheterna och skillnaderna med sfären , som är ett exempel på en yta med en krökning som också är konstant men positiv.

Historik

Undersöktes först av Minding 1839-1840. I synnerhet visade han att begreppen för en grupp av rörelser och kongruenta figurer är meningsfulla endast på ytor med konstant krökning. Ytans namn "pseudosfär" gavs av Beltrami . Han uppmärksammade också det faktum att pseudosfären implementerar den lokala modellen av Lobatsjovskijs geometri , tillsammans med den projektiva modellen och den konforma euklidiska modellen .

Egenskaper

Om tractrixen är specificerad i Oxz- planet av de parametriska ekvationerna

x=a\sin u

y=0

z=a\left(\ln \operatörsnamn {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{ 2}}

då blir pseudosfärens parametriska ekvationer

x=a\sin u\cos v

y=a\sin u\sin v

z=a\left(\ln \operatörsnamn {tg} {\frac {u}{2))+\cos u\right)

0\leq u\leq {\frac {\pi }{2)),\ 0\leq v\leq 2\pi

Första kvadratiska formen :

ds^{2}=a^{2}\operatörsnamn {ctg}^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}

Andra kvadratiska formen :

\phi _{2}=a(-\operatörsnamn {ctg}u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})

Pseudosfärens Gaussiska krökning är konstant, negativ och lika med −1/ a² .

Arean av båda hålen i pseudosfären sammanfaller med sfärens yta ( ), volymen är halva volymen av bollen ( ). $4\pi a^{2}$ ${\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}$

Variationer och generaliseringar

Dini-ytan är ett liknande exempel på en yta med konstant negativ krökning. Det ger en isometrisk nedsänkning av en region av Lobachevsky-planet som avgränsas av en horocykel .

Källor

Pseudosfär. - Tillämpad matematik
Pseudosfär // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

Litteratur

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometry. - Nauka, M. , 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5 .
Aleksandrov PS Vad är icke-euklidisk geometri. - URSS, M. , 2007. ISBN 978-5-484-00871-1 .
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurs i differentialgeometri och topologi, - Factorial, M. , 2000.
Wolf J. Spaces of constant curvature, Nauka, Moskva , 1982.