Rörelse (matematik)

Rörelse är en transformation av det metriska utrymmet som bevarar avståndet mellan motsvarande punkter, det vill säga om och är bilderna av punkterna och , då . Rörelse är med andra ord en isometri av rymden i sig själv. $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Även om rörelse definieras på alla metriska utrymmen, är termen vanligare inom euklidisk geometri och relaterade fält. I metrisk geometri (särskilt i Riemannsk geometri ) säger man oftare: isometri av rymden in i sig själv . I det allmänna fallet med ett metriskt utrymme (till exempel för ett icke-platt Riemann-grenrör ) kanske rörelser inte alltid existerar.

Ibland förstås rörelse som en transformation av det euklidiska rummet som bevarar orienteringen. I synnerhet anses den axiella symmetrin hos ett plan inte vara en rörelse, medan rotation och parallell translation betraktas som rörelser. På liknande sätt, för allmänna metriska utrymmen, är rörelsen ett element i isometrigruppen från den anslutna komponenten i identitetskartläggningen .

I euklidiskt (eller pseudo-euklidiskt ) utrymme bevarar rörelse automatiskt även vinklar, så att alla prickprodukter bevaras .

Vidare i denna artikel beaktas isometrier av endast euklidiskt punktutrymme.

Korrekta och icke-korrekta rörelser

Låt vara rörelsen av ett euklidiskt punktutrymme och vara utrymmet för fria vektorer för rummet . Den linjära operatorn som är associerad med en affin transformation är en ortogonal operator , så dess determinant kan vara antingen ( korrekt ortogonal operator ) eller ( olämplig ortogonal operator ). I enlighet med detta, och rörelser delas in i två klasser: korrekt (om ) och felaktig (om ) [1] . $f\colon E\rightarrow E$ $E,$ $V$ $E$ $Df\colon V\rightarrow V,$ $f,$ $ett$ $-ett$ $\det Df=1$ $\det Df=-1$

Korrekta rörelser bevarar utrymmets orientering , oriktiga rörelser - ersätt det med det motsatta [2] . Ibland kallas korrekta och felaktiga rörelser för förskjutningar respektive antiförskjutningar [3] . $E,$

Varje rörelse av ett n -dimensionellt euklidiskt punktutrymme kan bestämmas unikt genom att specificera en ortonormal ram in i vilken, under en given rörelse, en ortonormal ram som är förvald i rymden passerar . I detta fall, i fallet med korrekt rörelse, den nya ramen är orienterad på samma sätt som den ursprungliga, och i fallet med felaktig rörelse, den nya ramen orienterad på motsatt sätt. Rörelser bevarar alltid avstånd mellan punkter i rymden (dvs de är isometrier ), och det finns inga andra isometrier, förutom korrekta och felaktiga rörelser [4] . $E$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),$ $E$ $(O;e_{1},\ldots,e_{n}).$ $E$

Inom mekanik har begreppet "rörelse" en annan betydelse; i synnerhet betraktas det alltid som en kontinuerlig process som sker över en tidsperiod ( se mekanisk rörelse ). Om vi, efter P. S. Aleksandrov , kallar kontinuerlig rörelse en sådan rymdrörelse som kontinuerligt beror på parametern (ty inom mekaniken motsvarar detta rörelsen hos en absolut stel kropp ), då kan den ortonormala ramen erhållas genom kontinuerlig rörelse från den ortonormala ram om och endast om båda riktmärkena är orienterade på samma sätt [5] . $E,$ $t\in [t_{0},t_{1}]$ $n=3$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$

Särskilda typer av isometrier

Rak

Varje rörelse av en rät linje är antingen en parallell translation (reducerad till förskjutningen av alla punkter på en rät linje av samma vektor som ligger på samma räta linje), eller en reflektion av någon punkt tagen på en given rät linje. I det första fallet är rörelsen korrekt, i det andra olämplig [6] .

På planet

Alla rörelser av planet tillhör en av följande typer [2] :

Parallell överföring ;
Vänd ;
Axialsymmetri ( reflektion );
En glidsymmetri är en överlagring av en translation av en vektor parallell med en rät linje och en symmetri kring denna räta linje.

Rörelserna för de två första typerna är korrekta, de två sista är felaktiga [7] .

I 3D-rymden

Varje rörelse av tredimensionellt utrymme tillhör en av följande typer [2] :

Parallell överföring;
Sväng;
Skruvrörelse är en överlagring av en rotation kring en viss rät linje och translation av en vektor parallell med denna räta linje;
Spegelsymmetri (reflektion) kring planet ;
Glidande symmetri är överlagringen av en translation av en vektor parallell med ett plan och en symmetri kring detta plan;
Spegelrotation är en överlagring av rotation runt någon rät linje och reflektion kring ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Rörelser av de tre första typerna utmattar klassen av egenrörelser i det tredimensionella rummet ( Challs sats ), och rörelser av de tre sista typerna är olämpliga [7] .

I n-dimensionellt utrymme

I det dimensionella rummet reduceras rörelser till ortogonala transformationer , parallella översättningar och superpositioner av båda. $n$

I sin tur kan ortogonala transformationer representeras som superpositioner av (riktiga) rotationer och spegelreflektioner (d.v.s. symmetrier med avseende på hyperplan ).

Rörelser som överlagringar av symmetrier

Vilken isometri som helst i det dimensionella euklidiska rummet kan representeras som en superposition av högst n+1 spegelreflektioner [8] . $n$

Så parallell translation och rotation är superpositioner av två reflektioner, glidreflektion och spegelrotation är tre, och skruvrörelse är fyra.

Allmänna egenskaper för isometrier

Superpositionen av isometrier är också en isometri [9] .
Isometrierna i det euklidiska utrymmet E med avseende på driften av superposition bildar gruppen Iso( E ) , som är en Lie-grupp .
Isometri är ett specialfall av en affin transformation (så Iso( E ) är en undergrupp till en annan Lie-grupp, den affina gruppen Aff( E ) i rymden E ) [10] .
Gruppen Iso( E ) består av två sammankopplade komponenter : uppsättningen Iso + ( E ) av egenrörelser (som i sig är en Lie-grupp) och uppsättningen Iso - ( E ) av felaktiga rörelser; var och en av dessa komponenter är vägkopplad [3] .
Isometri, som är en affin transformation , omvandlar alltid ett segment tillbaka till ett segment.

Anteckningar

↑ Kostrikin och Manin, 1986 , sid. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov I.P. . Rörelse // Matematisk uppslagsverk. Vol 2 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1979. - 1104 stb. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , sid. 249.
↑ Aleksandrov, 1968 , sid. 259-262.
↑ Aleksandrov, 1968 , sid. 210, 214.
↑ Aleksandrov, 1968 , sid. 284.
↑ 1 2 Kostrikin och Manin, 1986 , sid. 204.
↑ Berger, 1984 , sid. 255.
↑ Aleksandrov, 1968 , sid. 267.
↑ Kostrikin och Manin, 1986 , sid. 202.

Litteratur

Alexandrov P. S. . Föreläsningar om analytisk geometri. — M .: Nauka , 1968. — 912 sid.
Berge M. . Geometri. T. 1. - M . : Mir , 1984. - 560 sid.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Linjär algebra och geometri. 2:a uppl. — M .: Nauka , 1986. — 304 sid.