Pseudo-euklidiskt utrymme

Ett pseudo-euklidiskt utrymme är en ändlig dimensionell reell vektor eller affint utrymme med en icke-degenererad obestämd skalär produkt , som också kallas ett obestämt mått . Ett obestämt mått är inte ett mått i betydelsen av definitionen av ett metriskt utrymme , utan är ett specialfall av en metrisk tensor .

Ett pseudo-euklidiskt utrymme definieras av ett par heltalsparametrar - den maximala dimensionen av ett delrum med positiva och negativa bestämda mått; paret kallas utrymmets signatur. Signaturutrymmen betecknas vanligtvis med eller . Det viktigaste exemplet på ett pseudo-euklidiskt utrymme är Minkowski-utrymmet . $(m,n)$ $(m,n)$ $(m,n)$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,n))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n))$ $\mathbb {E} ^{m,1}$

Pseudo-euklidisk rymdsignatur

Genom att välja en lämplig bas för ett vektorpseudo-euklidiskt utrymme kan man alltid säkerställa att den obestämda skalära produkten av detta utrymme har formen $L$

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{{m+1}}y_{{m+1}}-\ldots -x_ {n}y_{n},

var och är rymdvektorer . Särskilt den skalära kvadraten av en vektor har formen $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $L$

\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{{m+1}}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2},

och kan vara både ett positivt och negativt tal, såväl som noll (även för en vektor som inte är noll ). Följaktligen längden på vektorn definierad av likheten $x$ $x$

\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle )),

är antingen ett positivt reellt tal, ett rent imaginärt tal eller noll.

På liknande sätt kan man genom att välja en ram alltid säkerställa att avståndet mellan punkter i det n-dimensionella affina pseudo-euklidiska rummet med koordinater och skrivs som $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $(y_{1},\ldots,y_{n})$

d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{{ m+1}}-y_{{m+1}})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.

Baser och ramar med denna egenskap kallas ortonormala .

Ett par av tal (som anger antalet basvektorer av reell respektive rent imaginär längd) är inte beroende av valet av en ortonormal bas eller ram (Sylvesters tröghetslag) och kallas den pseudo-euklidiska rymdsignaturen . $(m, nm)$

Pseudo-euklidiska utrymmen med olika signaturer är inte isometriska för varandra. Ett utrymme med en signatur kan dock förvandlas till ett mellanslag med en signatur genom att ändra tecknet för den skalära produkten, och därför finns det vanligtvis ingen skillnad mellan sådana utrymmen: i synnerhet definieras Minkowski-utrymmet i olika källor som både signatur utrymme och signaturutrymme . Således motsvarar varje dimension (där de direkta parenteserna betyder att man tar heltalsdelen) olika -dimensionella pseudo-euklidiska rum. $(m, nm)$ $(nm,m)$ $(1.3)$ $(3.1)$ $n$ $\vänster[n/2\höger]$ $n$

Isotropa vektorer, riktningar, koner

En viktig egenskap hos utrymmen med en obestämd måttenhet är närvaron av vektorer som inte är noll med noll längd. Sådana vektorer (liksom linjerna för vilka de riktar vektorer) kallas isotropa eller ljusliknande (det senare namnet används oftare i fysik, det är associerat med Minkowski-rymden ). Ett delrum av ett vektorpseudo-euklidiskt utrymme kallas isotropt om det helt består av isotropa vektorer.

Uppsättningen av alla isotropa vektorer i ett pseudo-euklidiskt vektorrum kallas den isotropiska konen (eller ljuskonen ) i det utrymmet. Ljuskonen i signaturutrymmet innehåller inte "ansikter", det vill säga isotropa delrum med dimension större än 1 [1] . $(1,n-1)$

Uppsättningen av alla isotropa vektorer i ett pseudo-euklidiskt affint utrymme, plottade från en godtyckligt fixerad punkt, kallas den isotropiska konen (eller ljuskonen ) i det utrymmet vid den givna punkten. Denna uppsättning är verkligen en kon (i den allmänna meningen av detta koncept) med en vertex vid en given punkt. Isotropiska koner av ett pseudo-euklidiskt affint utrymme med hörn på olika punkter erhålls från varandra med hjälp av parallell translation .

I synnerhet har ett pseudo-euklidiskt vektorplan exakt två isotropa riktningar. På en ortonormal basis, där vektorns skalära kvadrat har formen av isotropa riktningar - består raka linjer och en isotrop kon av föreningen av dessa två linjer. $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ $x_{1}\pm x_{2}=0,$

Ett tredimensionellt pseudo-euklidiskt vektorrum har ett oändligt antal isotropa riktningar. I en ortonormal basis, där skalärkvadraten av en vektor har formen av isotropa riktningar, är dessa alla möjliga linjer som ligger på en isotrop kon som i detta fall är en riktig kon . $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$

Delrum i ett pseudo-euklidiskt utrymme

Ett underrum till ett pseudo-euklidiskt utrymme med en signatur är inte nödvändigtvis ett pseudo-euklidiskt utrymme med samma antal ; dessutom kan det också vara ett euklidiskt rum. Till exempel, i ett tredimensionellt pseudo-euklidiskt utrymme med signatur, kan planet vara antingen pseudo-euklidiskt med signatur eller euklidiskt, eller ha en degenererad skalär produkt. Geometriskt bestäms dessa tre fall av planets placering i förhållande till den isotropiska konen (se figur). Ett plan är nämligen pseudo-euklidiskt om det skär en isotrop kon i två olika räta linjer (isotropa riktningar); begränsningen av den skalära produkten till planet är degenererad om den berör en isotrop kon, det vill säga den skär den längs en enda rak linje; Slutligen är ett plan euklidiskt om det har en enda punkt gemensam med en isotrop kon (konens spets). $(nm,m)$ $m$ $(2.1)$ $\Pi$ $(1.1)$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Cirklar och sfärer

Ur synvinkeln av det pseudo-euklidiska planets geometri är cirklar med godtycklig radie som inte är noll (verklig eller rent imaginär) hyperboler . På liknande sätt, i signaturens tredimensionella pseudo-euklidiska rymd, är sfärer med en reell radie som inte är noll enarkshyperboloider , och sfärer med en rent imaginär radie som inte är noll är tvåarkshyperboloider . På liknande sätt, i utrymmen med fler dimensioner, till exempel i den fyrdimensionella signaturen (3,1). $(2.1)$

När det gäller dess geometriska egenskaper är var och en av de två "halvorna" av en hypersfär med imaginär radie i signaturens -dimensionella pseudo-euklidiska rymden ett dimensionellt Lobachevsky-rum . Dimensionsunderrymden (från till ) i detta Lobachevsky-rum motsvarar dimensionsunderrymden i det ursprungliga pseudo-euklidiska rummet som passerar genom ursprunget och skär hypersfären av imaginär radie, och dess rörelser motsvarar Lorentz-transformationer . $n+1$ $(n,1)$ $n$ $k$ $0$ $n-1$ $k+1$

Invers Cauchy-Bunyakovsky ojämlikhet

I ett pseudo-euklidiskt utrymme med en signatur för alla vektorer av imaginär längd gäller följande olikhet : [1] $(n-1,1)$

\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \ langle y,y\rangle .

Tillämpningar i fysik

Det viktigaste specialfallet av ett pseudo-euklidiskt utrymme är Minkowski-rummet , som används i speciell relativitet som rumtid , där signaturmåttet (1,3) är Lorentz-invariant (endast ett pseudo-euklidiskt mått kan vara Lorentz-invariant ), och för tidslikheten för ett par händelser, längden (i betydelsen av ett sådant mått) på kurvan som förbinder dessa händelser och som också är tidslik överallt, det finns tiden mellan dem, mätt med klockan, vars rörelse beskrivs i denna kurvas rum-tid. Isotropiska riktningar är riktningarna för ljusets utbredning och kallas även noll eller ljusliknande.

Hilbert-rymden med en obestämd metrik används inom kvantelektrodynamik för den matematiska beskrivningen av kvantiseringen av longitudinella och skalära svängningar av det elektromagnetiska fältet [2] .

Teoretisk fysik överväger pseudo-euklidiska rum och andra dimensioner, men som regel har metriken i dem signaturen , det vill säga dessa är rum med en tidskoordinat och n rumsliga. $(1,n)$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. VII, par. 7, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
↑ Akhiezer A.I. , Berestetsky V.B. Quantum electrodynamics. - M., Nauka, 1969. - sid. 63

Litteratur

Walter Noll (1964) "Euclidean geometry and Minkowskian chronometry", American Mathematical Monthly 71:129-44.
Poincaré , Science and Hypothesis 1906, refererad till i boken B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (engelsk översättning) s.266.
Szekeres, Peter. En kurs i modern matematisk fysik : grupper, Hilbertrum och differentialgeometri . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521829607 .
Alexandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya. - Encyclopedia of elementary mathematics. Volym V. Geometri
Rashevsky PK Riemann geometri och tensoranalys. - Vilken upplaga som helst.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri (metoder och tillämpningar). - Vilken upplaga som helst.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Föreläsningar om klassisk differentialgeometri. — M.: Logos, 2009.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig