Isotrop vektor

En isotropisk vektor ( nullvektor ) är en vektor som inte är noll för ett pseudo-euklidiskt vektorrum (över fältet av reella tal ) eller ett enhetligt vektorrum (över fältet av komplexa tal ), ortogonal mot sig själv, eller, på motsvarande sätt, med noll längd i betydelsen den skalära produkten av det aktuella utrymmet. Namnet isotrop är förknippat med det fysiska begreppet isotropi .

Det finns inga sådana vektorer i euklidiska utrymmen - bara vektorer lika med noll har noll längd. I pseudo-euklidiska utrymmen finns isotropa vektorer och bildar en isotrop kon . Nämligen, en vektor av ett vektorrum över ett fält av reella eller komplexa tal med en icke-degenererad bilinjär form given som en skalär produkt med signatur är isotrop om . $\xi \neq 0$ $E$ $F$ $\Phi :E\times E\to F$ $(p,q)$ $\Phi (\xi ,\xi )=0$

Relaterade begrepp

En isotrop kon av ett pseudo-euklidiskt eller enhetligt vektorrum är en uppsättning som består av alla nolllängdsvektorer i det givna rummet, det vill säga alla isotropa vektorer och en nollvektor.

Ett isotropt delrum är ett delrum av ett pseudo-euklidiskt eller enhetligt vektorrum som helt och hållet finns i den isotropiska konen av detta utrymme, det vill säga det består helt och hållet av vektorer med noll längd. Ett delrum är isotropt om och endast om två av dess vektorer är ortogonala mot varandra [1] . Den maximala dimensionen för ett isotropiskt delrum av ett pseudo-euklidiskt singaturrum överstiger inte [2] . $(p,q)$ $\min(p,q)$

Ett degenererat delrum är ett delrum av ett pseudo-euklidiskt eller enhetligt vektorrum till vilket den skalära produktrestriktionen är degenererad. Ett delrum är degenererat om och endast om det innehåller minst en isotrop vektor som är ortogonal mot alla andra vektorer i detta delrum [1] . Uppenbarligen är vilket isotropt delrum som helst degenererat, men det omvända är inte sant.

Exempel

Det enklaste exemplet är isotropa vektorer och en isotrop kon i ett pseudo-euklidiskt signaturrum (2.1). Kvadraten på längden på en vektor ges av . En isotrop kon är en rät cirkulär kon . Isotropa delrum är raka linjer (generatorer) som ligger på den, degenererade delrum (andra än isotropa) är plan som tangerar en isotrop kon, det vill säga har exakt en gemensam linje med sig. Alla andra plan är antingen euklidiska (om de skär med en isotrop kon endast vid dess spets), eller pseudo-euklidiska av signatur (1,1) (om de skär med den längs två olika linjer) [3] . ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3))$ $e=(x,y,z)$ $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}$ $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

Det viktigaste exemplet är isotropa vektorer och en isotrop kon i Minkowskis rymd, ett pseudo-euklidiskt signaturrum (1,3) som används som en geometrisk tolkning av den speciella relativitetsteoriens rum-tid . I detta utrymme har varje vektor e fyra koordinater: , där är ljusets hastighet , och kvadraten på dess längd ges av formeln . Den isotropiska konen i Minkowskirymden kallas ljuskonen , och de isotropiska vektorerna kallas ljus eller ljusliknande . Vektorer inuti ljuskonen ( ) kallas tidsliknande och vektorer utanför ljuskonen ( ) kallas rymdliknande . ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{4))$ $e=(ct,x,y,z)$ $c$ $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ $|e|^{2}>0$ $|e|^{2}<0$

Anteckningar

↑ 1 2 Remizov A. O. On isomorphisms of pseudo-euclidean spaces , Mat. utbildning, 2018, nr 2(86), 15–39 (s. 17).
↑ Remizov A. O. On isomorphisms of pseudo-euclidean spaces , Mat. obrazovanie, 2018, nr 2(86), 15–39 (s. 27, Lemma 2).
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, par. 7)

Litteratur

Isotropisk vektor - artikel från Encyclopedia of Mathematics . A.B. Ivanov
B.A. Dubrovin , S.P. Novikov , A.T. Fomenko Modern geometri: metoder och tillämpningar. - 4:e upplagan. - M. : Editorial URSS, 1998. - T. 1. Geometri av ytor, grupper av transformationer och fält. - S. 49-52. — 320 s. — ISBN 5-901006-02-X .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, par. 7).
Remizov AO Om isomorfismer av pseudo-euklidiska utrymmen , Mat. utbildning, 2018, nr 2(86), 15–39.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig