Första andragradsformen

Den första kvadratiska formen (eller den första grundformen eller metrisk tensor ) av en yta är en kvadratisk form på ytans tangentknippe som definierar den inre geometrin hos ytan i närheten av en given punkt. Den första kvadratiska formen betecknas ofta . $\mathrm {I}$

Att känna till den första kvadratiska formen är tillräckligt för att beräkna den Gaussiska krökningen av en yta, såväl som för att beräkna längderna på bågar, vinklarna mellan kurvorna och områdena av områden på ytan.

Definition

Låt ytan i det euklidiska rummet med skalär produkt ges av ekvationen där och är inre koordinater på ytan; är differentialen för radievektorn längs den valda förskjutningsriktningen från en punkt till en oändligt nära punkt . (Här och är de partiella derivatorna av radievektorn med avseende på och med avseende på respektive.) Då uttrycks kvadraten på huvuddelen av längdökningen med kvadraten på differentialen : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $u$ $v$ $|MM'|$ $dr$