Tredje andragradsformen

Den tredje kvadratiska formen är ett sätt att beskriva ytkrökningar . Betecknas vanligtvis . $\mathbf {I\!I\!I}$

Definition

Låt beteckna operatören av formen av en slät yta . Dessutom låt och vara element i tangentutrymmet vid punkten . Den tredje grundläggande formen definieras som följande prickprodukt $S$ $\Sigma$ $u$ $v$ $T_{p}$ $p\in \Sigma$

\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .

Egenskaper

Den tredje kvadratiska formen beror inte på tecknet på ytnormalen . (Detta skiljer sig från den andra kvadratiska formen , som byter tecken när normalens tecken ändras)

Den tredje kvadratiska formen uttrycks i termer av den första och andra kvadratiska formen . $\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$

var är ytans medelkrökning och är ytans Gaussiska krökning .

H

K

Eftersom formuläroperatorn är självadjoint, för vi har $u,v\in T_{p}(M)$ $\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u, v\rangle$ .

Tredje andragradsformen

Definition

Egenskaper

Se även