Gaussisk krökning

Gaussisk krökning är ett mått på krökningen av en yta i närheten av någon av dess punkter. Gaussisk krökning är ett föremål för ytornas inre geometri , det vill säga den förändras inte under isometriska böjningar.

Definition

Gaussisk krökning för en tvådimensionell yta

Låt oss beteckna de normala krökningarna i de huvudsakliga riktningarna ( huvudsakliga krökningar ) vid den betraktade punkten på ytan och . Storlek: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kallas den Gaussiska krökningen , den totala krökningen , eller helt enkelt krökningen av ytan. Det finns också termen krökningsskalär , som antyder resultatet av krökningstensorns faltning ; i detta fall är den skalära krökningen dubbelt så stor som den Gaussiska krökningen.

Gaussisk krökning kan beräknas i termer av ytmetriska , och därför är det ett föremål för inneboende geometri (notera att huvudsakliga krökningar inte gäller för inneboende geometri). Med tecknet på krökning kan du klassificera ytans punkter (se figur). Planets krökning är noll. Krökningen av en sfär med radie R är överallt lika med . Det finns också en yta med konstant negativ krökning- pseudosfär . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Gaussisk krökning för en hyperyta

Krökningen av en n-dimensionell hyperyta vid en punkt beskrivs fullständigt av dess huvudsakliga krökningar och motsvarande huvudriktningar . $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots ,k^{{(n)}}$

Betrakta (upp till tecken) symmetriska polynom som består av tal

(1)\qquad k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots ,k^{{(n)}}:

(2)\qquad \left\{{\begin{array}{rcl}K^{{[1]}}&=&-(k^{{(1)}}+k^{{(2)} }+\dots +k^{{(n)}})=-\summa \limits _{{i}}k^{{(i)}}\\K^{{[2]}}&=&k ^{{(1)}}k^{{(2)}}+k^{{(1)}}k^{{(3)}}+\dots +k^{{(n-1)} }k^{{(n)}}=\summa \limits _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}\\\cdots &\cdots &\ cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\K^{{[n]}}&=&(-1)^{n}k^{{(1)}}k^{{ (2)}}\cdots k^{{(n)}}\\\end{array}}\right.

Låt oss kalla ovanstående värden den Gaussiska krökningen av motsvarande grad. Den allmänna formeln för den Gaussiska krökningen av grad m skrivs enligt följande:

(3)\qquad K^{{[m]}}=\summa _{{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}}k^{{(i_{1})} }k^{{(i_{2})}}\cdots k^{{(i_{m})}}

De Gaussiska krökningarna är koefficienterna för det karakteristiska polynomet för den totala krökningstensormatrisen för hyperytan:

(4)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}+K^{{[1]}}\lambda ^ {{n-1}}+\dots +K^{{[n-1]}}\lambda +K^{{[n]}}

Tensorformel för Gaussisk krökning

Formel (3) definierar den Gaussiska krökningen genom egenvärdena för hyperytans totala krökningstensor . Låt oss försöka uttrycka dessa storheter i termer av komponenterna i själva tensorn i vilket koordinatsystem som helst. För att beräkna determinanten för en godtycklig tensor av andra rang, har vi följande formel med den metriska matryoshka-tensoren (se absolut antisymmetrisk enhetstensor ): $b_{{ij}}$ $b_{{ij}}$

(5)\qquad \det(a_{j}^{i})={1 \over n!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1 }i_{2}\dots i_{n}}}a_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}a_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}\ cdots a_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}

Ersätt i denna formel för att beräkna det vänstra uttrycket av formel (4), då har vi: $a_{j}^{i}=\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i}$

(6)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n} }}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}(\lambda \delta _{{i_{1}}}^{{j_{1}}}-b_{{i_{ 1}}}^{{j_{1}}})\cdots (\lambda \delta _{{i_{n}}}^{{j_{n}}}-b_{{i_{n}}}^ {{j_{n}}})

Låt oss öppna parenteserna i formel (6). Eftersom den metriska matryoshka-tensorn inte förändras med en synkron permutation av de övre och nedre indexen, kommer alla termer med samma grad att vara desamma (deras antal är lika med binomialkoefficienten ), och vi får: $g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ $\lambda ^{m}$ $C_{n}^{m}$

(7)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}g_{{s_{1}s_{2} \dots s_{n}}}^{{s_{1}s_{2}\dots s_{n}}}-C_{n}^{1}\lambda ^{{n-1}}g_{{js_ {2}\dots s_{n}}}^{{is_{2}\dots s_{n}}}b_{i}^{j}+C_{n}^{2}\lambda ^{{n- 2}}g_{{j_{1}j_{2}\dots s_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots s_{n}}}b_{{i_{1}}} ^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}-\dots

Eftersom successiva faltningar av den metriska matryoshka-tensorn är lika:

(8)\qquad g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}s_{{m+1}}s_{{m_{2}}}\dots s_{n}}}^{{ i_{1}i_{2}\dots i_{m}s_{{m+1}}s_{{m+2}}\dots s_{n}}}=(nm)!\,g_{{j_{ 1}\dots j_{m}}}^{{i_{1}\dots i_{m}}}

Sedan från formel (7) och formeln för binomialkoefficienter hittar vi följande formel för det karakteristiska polynomet (dividera båda sidor av ekvation (7) med ): $C_{n}^{m}={n! \över m!(nm)!}$ $n!$

(9)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}-{\lambda ^{{n-1)) \ över 1!}g_{j}^{i}b_{i}^{j}+{\lambda ^{{n-2}} \över 2!}g_{{j_{1}j_{2}}} ^{{i_{1}i_{2}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}- \prickar

Genom att jämföra formlerna (9) och (4), hittar vi följande formel för den Gaussiska krökningen:

(10)\qquad K^{{[m]}}={(-1)^{m} \over m!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}}^{ {i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2 }}}\dots b_{{i_{m}}}^{{j_{m}}}

Uttryck i termer av Riemann-tensoren

För den skalära krökningen av en hyperyta har vi följande formel

(11)\qquad R=g^{{ik}}g^{{jl}}R_{{ijkl}}=2\summa _{{i<j}}k^{{(i)}}k^ {{(j)}}=2K^{{[2]}}

För att generalisera den här formeln för högre makter, låt oss försöka ersätta produkten av två metriska tensorer i formel (11) med den fjärde rangens metriska matryoshka-tensor:

(12)\qquad g^{{ijkl}}R_{{ijkl}}={\begin{vmatrix}g^{{ik}}&g^{{il}}\\g^{{jk}}&g^ {{jl}}\end{vmatrix}}R_{{ijkl}}=(g^{{ik}}g^{{jl}}-g^{{il}}g^{{jk}})R_ {{ijkl}}=2R=4K^{{[2]}}

För ytterligare beräkningar går vi vidare till ett lokalt kartesiskt koordinatsystem vid en av punkterna i grenröret P och orienterar det längs hyperytans huvudriktningar. Vid punkt P kommer matrisen för den metriska tensorn att vara enhet:

(13)\qquad g_{{ij}}=\delta _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}

och därför kan vi inte numeriskt skilja mellan kovarianta och motsvarande kontravarianta komponenter av tensorer (övre och nedre index). Riemann-tensorn vid en punkt kommer i någon mening att vara diagonal, nämligen dess komponenter som inte är noll kommer att vara lika: $P$

(14)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}\qquad (i\neq j)

och alla dessa komponenter är lika med noll , där det andra indexparet inte sammanfaller med upp till en permutation i paret. $R_{{ijkl}}$ $(kl)$ $(I j)$

Den vänstra sidan av formel (12) är en linjär form av Riemann-tensorn, och komponenterna i den metriska matryoshka-tensorn fungerar som koefficienter för denna form. En uppenbar generalisering är övervägandet av den bilinjära formen och högre gradsformer av komponenten i Riemann-tensoren. Låt oss beräkna formel (12) igen och på ett sådant sätt att dessa beräkningar lätt kan generaliseras. Vi har, med tanke på diagonaliteten hos Riemann-tensoren:

(15)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=\summa _{{i,j}}\left(\summa _{{k, l}}g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}\right)=\summa _{{i,j}}\left(g_{{ij}} ^{{ij}}R_{{ij}}^{{ij}}+g_{{ji}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{ji}}\right)

Vidare är de två termerna på höger sida av formel (15) desamma på grund av antisymmetrin i index inuti paret av både den metriska matryoshka-tensorn och Riemann-tensorn. Dessutom är den diagonala komponenten i den metriska kapseldockan lika med en, eftersom (i följande formel utförs inte addition över samma index, och indexen är olika): $I j$

(16)\qquad g_{{ij}}^{{ij}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{i}&\delta _{j}^{i}\\\delta _ {i}^{j}&\delta _{j}^{j}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1

Med hänsyn till ovanstående och formel (14), transformerar vi formel (15) ytterligare:

(17)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=2\summa _{{i\neq j}}1\cdot k^{{( i)}}k^{{(j)}}=2\cdot 2!\summa _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\ cdot 2!K^{{[2]}}

Låt oss nu gå vidare till beräkningen av följande kvadratiska form:

(18)\qquad \Phi _{2}(R)=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2 }j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{k_ {2}l_{2}}}

Koefficienterna för denna form är komponenterna i den åttonde rang metriska matryoshka-tensorn. Denna tensor har två grupper av index och är antisymmetrisk med avseende på permutationen av index inom dessa grupper. Vi beräknar på samma sätt som formel (15).

(19)\qquad \Phi _{2}(R)=\summa _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}\left(\summa _{{k_ {1},l_{1},k_{2},l_{2}}}g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{ 1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}} }^{{k_{2}l_{2}}}\right)=2^{2}\summa _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}g_ {{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{ 1}}}^{{i_{1}j_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{i_{2}j_{2}}}

Låt oss beteckna indexen för enkelhetens beteckning: $i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}$ $jag, j, k, l$

(19a)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\summa _{{i,j,k,l}}g_{{ijkl}}^{{ijkl}}R_{{ij }}^{{ij}}R_{{kl}}^{{kl}}=2^{2}4!\summa _{{i,j,k,l \över alla\;olika}}g_{ {ijkl}}^{{ijkl}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}

Alla fyra index måste vara parvis olika, eftersom komponenterna i den metriska matryoshka-tensorn är lika med noll om det finns två identiska index i samma grupp. Den rätta summan av formeln (19a) innehåller de diagonala komponenterna i den metriska matryoshka-tensorn, som är lika med en (på samma sätt som formel 16). $jag, j, k, l$

(19b)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\summa _{{i,j,k,l \over all\;different}}k^{{(i)}}k ^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!\summa _{{i<j<k<l}} k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!K^{{ [fyra]}}

Multiplikator 4! vid övergång till den andra summan i formel (19a), uppstod på grund av att för en term i rätt summa, kännetecknad av en fast uppsättning av fyra olika tal , motsvarar 4! = 24 lika termer i den vänstra summan, kännetecknad av permutationer av dessa fyra tal. $i<j<k<l$

Formlerna (19), (19a), (19b) är lätta att generalisera till högre gradsformer. Således får vi en generell formel för att hitta den Gaussiska krökningen av pargraden : $2m$

(20)\qquad K^{{[2m]}}={1 \över 2^{m}(2m)!}g_{{k_{1}l_{1}\dots k_{m}l_{m} }}^{{i_{1}j_{1}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}} }\cdots R_{{i_{m}j_{m}}}^{{k_{m}l_{m}}}

En alternativ härledning av den Gaussiska krökningsformeln för parpotensen

Vi använder följande uttryck för Riemann-tensorn i termer av den totala krökningstensorn

(21)\qquad R_{{ij}}^{{kl}}=b_{i}^{k}b_{j}^{l}-b_{j}^{k}b_{i}^{l }

och börja i formel (10) för att gruppera faktorerna med två, till exempel med början från de två första (här antar vi att graden av Gaussisk krökning inte är mindre än två ( ), och för att förenkla notationen utelämnar vi beteckningarna ): $2m$ $m\geq 1$ $m$

(22)\qquad (2m)!K=g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots =-g_{{ kl\dots }}^{{ji\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots

Den sista transformationen är giltig på grund av antisymmetrin hos den metriska matryoshka-tensorn med avseende på indexen i den övre gruppen. Därefter, i det sista uttrycket, byt indexen : $I j$

(23)\qquad (2m)!K=-g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{j}^{k}b_{i}^{l}\cdots

Låt oss nu lägga till ekvation (22) och (23), samtidigt som vi tar hänsyn till (21). Vi får, återigen ändra beteckningen på indexen:

(24)\qquad 2(2m)!K^{{[2m]}}=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}} }^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{ 1}l_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{k_{2}}}\cdots b_{{i_{m}}}^{{k_{m}}}b_{{j_ {m}}}^{{l_{m}}}

Faktorn 2 på vänster sida av ekvation (24) dök upp som ett resultat av att gruppera två faktorer . Uppenbarligen kan vi på liknande sätt gruppera resten av faktorerna i par, sedan på vänster sida får vi faktorn och till höger - ett uttryck där endast Riemann-tensorn och den metriska matryoshka-tensoren deltar, d.v.s. vi får formel (20). $b_{{i_{1}}}^{{k_{1}}}b_{{j_{1}}}^{{l_{1}}}$ $2^{m}$

Gaussisk krökning av udda grad

Gaussisk krökning av udda grad är också relaterad till Riemann-tensorn, men med mer komplexa formler än (20). Dessutom, från dessa formler, uttrycks den Gaussiska krökningen tvetydigt.

Betydelse av Gaussisk krökning

I början gavs definitionen av Gaussisk krökning endast för en hyperyta (formlerna 2, 3). Men formel (20), såväl som formler för att hitta den Gaussiska krökningen av en udda grad, tillåter oss att utöka detta koncept till godtyckliga (abstrakta) mångfalder . Således kan vi betrakta de Gaussiska krökningarna som skalära invarianter av Riemann-tensoren.

Den inneboende krökningen av grenröret beskrivs fullständigt av Riemann-tensoren.

Den Gaussiska krökningen som en skalär kan integreras över volymen av hela grenröret (se artikeln Gaussiska integraler ). Integralen av K[n] är en topologisk invariant av ett n - dimensionellt grenrör (förändras inte under kontinuerlig deformation av grenröret).

Brioschis formel för en tvådimensionell yta

Den Gaussiska krökningen av en tvådimensionell yta kan uttryckas i termer av koefficienterna för dess första kvadratiska form

ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

och deras derivator av första och andra ordningen enligt den så kallade Brioschi - formeln [1] :

K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{{vv}}+F_{{uv}}-{\frac {1}{2}}G_{{ uu))&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1} {2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}} E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{ u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

I fallet (den så kallade ortogonala parametriseringen av ytan) kan denna formel skrivas om som $F=0$

K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG))))\left({\frac {\partial }{\partial u)){\frac {G_{u)){{\sqrt { EG))))+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}({\sqrt {EG}}}}\right).

Om ytan ges som en graf över en differentierbar funktion i ett tredimensionellt euklidiskt utrymme med metrisk , tar denna formel formen $z=f(x,y)$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

K={\frac {f_{{xx}}\cdot f_{{yy}}-f_{{xy}}^{2}}{(1+f_{x}^{2}+f_{y}^ {2})^{2}}}

Om ytan i tredimensionellt euklidiskt utrymme med metrisk ges av ekvationen , tar formeln formen [2] $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $f(x,y,z)=0$

K={\frac {[f_{z}(f_{{xx}}f_{z}-2f_{x}f_{{xz}})+f_{x}^{2}f_{{zz}}] [f_{z}(f_{{yy}}f_{z}-2f_{y}f_{{yz}})+f_{y}^{2}f_{{zz}}]-[f_{z} (-f_{x}f_{{yz}}+f_{{xy}}f_{z}-f_{{xz}}f_{y})+f_{x}f_{y}f_{{zz}} ]^{2}}{f_{z}^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2})^{2}}}

Om den första kvadratiska formen är konformt ekvivalent med den euklidiska, det vill säga med någon funktion och , har formeln för Gauss krökning formen $E=G=e^{{u}}$ $u=u(x,y)$ $F=0$

K=-{\frac {1}{2e^{u}}}\Delta u,

var är Laplace-operatören .

\Delta

Se även

Anteckningar

↑ Brioschi Formula på Wolfram MathWorld . Hämtad 24 juni 2020. Arkiverad från originalet 2 maj 2021. (obestämd)
↑ Gaussisk krökning på Wolfram MathWorld . Hämtad 24 juni 2020. Arkiverad från originalet 18 mars 2020. (obestämd)

Litteratur

Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6:e upplagan). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. En kurs i differentialgeometri (3:e upplagan). M.-L.: GITTL, 1950.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)