Funktionsvariation

I matematisk analys är en variation av en funktion en numerisk egenskap hos en funktion av en reell variabel, associerad med dess differentialegenskaper. För en funktion från ett segment på den reella linjen är en generalisering av begreppet kurvans längd given i denna funktion. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Definition

Låt . Då är variationen (även total variation eller total förändring ) av en funktion på ett segment följande värde: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\summa \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

det vill säga den minsta övre gränsen över alla partitioner i segmentet av längder av brutna linjer i , vars ändar motsvarar värdena vid partitionspunkterna. $P$ $[a,\;b]$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$

Relaterade definitioner

Funktioner vars variation är begränsad på ett segment kallas funktioner med begränsad variation , och klassen av sådana funktioner betecknas eller helt enkelt . $V[a,\;b]$ $V$
- I det här fallet definieras en funktion som kallas den totala variationsfunktionen för . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $f$
Den positiva variationen av en verkligt värderad funktion på ett segment kallas följande kvantitet: $f$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{P}}\summa \limits _{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
Den negativa variationen av en funktion definieras på liknande sätt : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits _{{P}}\summa \limits _{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Således kan den totala variationen av en funktion representeras som en summa $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Egenskaper för funktioner med begränsad variation

Summan och produkten av funktioner av begränsad variation kommer också att ha begränsad variation. Kvoten av två funktioner från kommer att ha begränsad variation (med andra ord tillhör klassen ) om nämnarens absoluta värde är större än en positiv konstant på intervallet . $V$ $V$ $[a,\;b]$
Om , a , då . $a<x\leqslant y<b$ $f\in V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Om funktionen är kontinuerlig vid en punkt till höger och tillhör , då . $f$ $a$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{x\to a{+}}}v(x)=0$
En funktion som ges på ett intervall är en funktion av avgränsad variation om och endast om den kan representeras som en summa av ökande och minskande funktioner ( Jordan expansion ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Varje funktion av begränsad variation är begränsad och kan inte ha mer än en räknebar uppsättning diskontinuitetspunkter , och alla är av det första slaget.
En funktion av begränsad variation kan representeras som summan av en absolut kontinuerlig funktion , en singularisfunktion och en hoppfunktion ( Lebesgue expansion ).

Alla dessa fastigheter etablerades av Jordanien [1] [2] .

Variationsberäkning

Variation av en kontinuerligt differentierbar funktion

Om en funktion tillhör klassen , det vill säga den har en kontinuerlig första ordningens derivata på segmentet , då är det en funktion av begränsad variation på detta segment, och variationen beräknas med formeln: $f:[a,\;b]\to \mathbb{R} ^{n}$ $C^1$ $[a,\;b]$ $f$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

det vill säga lika med integralen av derivatans norm .

Historik

Funktioner av begränsad variation studerades av C. Jordan [1] .

Till en början introducerades klassen av funktioner med avgränsad variation av K. Jordan i samband med en generalisering av Dirichlet-kriteriet för konvergensen av Fourierserier av bitvisa monotona funktioner. Jordan bevisade att Fourierserien av -periodiska funktioner i klassen konvergerar vid varje punkt på den reella axeln. Men i framtiden, funktioner av begränsat variation hittat bred tillämpning inom olika områden av matematik, särskilt i teorin om Stieltjes integralen . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Variationer och generaliseringar

Längden på en kurva definieras som en naturlig generalisering av variationen till fallet med mappningar till ett metriskt utrymme.

När det gäller flera variabler finns det flera olika definitioner av funktionsvariation:
- Fréchet variation ,
- platt variant av Tonelli .

Φ-variation av funktionen

Klassen anses också , som definieras enligt följande: $V_{\Phi [a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{a\leqslant x\leqslant b}}\ summa \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

där ( ) är en kontinuerlig funktion som är positiv som monotont ökande; $\Phi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ är en godtycklig partition av segmentet . $[a,\;b]$

Storheten kallas -variationen av funktionen på segmentet . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Phi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Om , då har funktionen bounded -variation på intervallet . Klassen för alla sådana funktioner betecknas med eller helt enkelt som [3] . Definitionen av klassen föreslogs av L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Phi$ $[a,\;b]$ $V_{\Phi [a,\;b]$ $V_{\Phi }$ $V_{\Phi [a,\;b]$

Jordan-klasserna är ett specialfall av Yang-klasserna och . Om för , så erhålls N. Wiener- klasser [5] ( N. Wiener ). $\Phi (x)=x$ $\Phi (x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Egenskaper

Om vi betraktar två funktioner och så $\Phi _{1}(x)$ $\Phi _{2}(x)$

\varlimsup _{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)))<\infty ,

då gäller följande relation för deras -variationer: $\Phi$

V_{{\Phi _{2}}}[a,\;b]\subset V_{{\Phi _{1}}}[a,\;b].

Särskilt,

V_{{x^{p))}\subset V_{{x^{q))}\subset V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\subset V_{{\exp (-x^{{-\beta }})}}

kl . $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Se även

Litteratur

Lebesgue, A. Integration och sökning efter primitiva funktioner / Per. från franska - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 sid.
Natanson, I. P. Teori om funktioner för en reell variabel. - M. : Nauka, 1974. - 484 sid.
Bari, N. K. Trigonometrisk serie. - M. : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1961. - 936 sid.

Anteckningar

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - Nr 5. - sid. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Teori om funktioner för en reell variabel. - M . : Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 sid.
↑ Bari, N.K. Trigonometric series. - M. : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1961. - S. 287. - 936 sid.
↑ Young L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - Nr 7. - sid. 470-472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - sid. 72-94.