Lebesgues måttexpansionssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 september 2021; verifiering kräver 1 redigering . Inledande definitioner

Låta vara en monoton icke-minskande funktion , vänster kontinuerlig [1] och sådan att . Låt oss införa ett mått på halveringen av alla intervall i formuläret enligt följande regel: . Denna åtgärd kan utvidgas till Borel sigma-algebra . I det här fallet kommer måtten på luckor med ändar att specificeras enligt följande. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ $[a,\;b)$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Här är den högra gränsen för funktionen vid punkten (den finns eftersom funktionen är icke- minskande). $F(a+0)$ $F(x)$ $a$ $F(x)$

Åtgärden kan utökas till delmängder av Lebesgue-nummerlinjen. I det här fallet visar det sig - Stieltjes-måttet . $m$ $\mu _{F}$

Specialfall av genereringsfunktionen : $F$

$F$ är hoppfunktionen. Hoppet är alltid positivt, setet består av ett ändligt eller räknebart antal poäng (skalärer). $A$

$\mu _{F}(A)=\summa \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ är en diskret åtgärd.

Funktionen F är kontinuerlig, minskar inte monotont på , på . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ är en absolut kontinuerlig åtgärd.

$F$ - en singular funktion (till exempel Cantors stege , där ökningen är 1 på hela segmentet, men nästan överallt ). Måttet är koncentrerat till funktionens tillväxtpunkter. $F$ $konst$

Måttnedbrytningssats

Varje Lebesgue-Stieltjes-mått kan representeras som summan av tre mått - diskret, absolut kontinuerlig och singular.

Anteckningar

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Element i måttteorin och Lebesgue-integralen. - Kazan: Kazan Federal University, 2016. - sid. 29.