Absolut kontinuitet

Absolut kontinuitet är en egenskap hos funktioner och mått i matematisk analys , vilket, informellt sett, är uppfyllelsen av Newton-Leibniz-satsen om sambandet mellan integration och differentiering . Vanligtvis formuleras denna sats i termer av Riemann-integralen och inkluderar i sina villkor integrerbarheten av derivatan i betydelsen Riemann. När man går över till en mer allmän Lebesgue-integral blir det naturliga kravet på att det finns en mätbar derivata nästan överallt för svagt, och för att den relation som liknar Newton-Leibniz-satsen ska hålla, behövs ett mer subtilt villkor, vilket är kallad absolut kontinuitet . Detta koncept överförs till åtgärder med hjälp av Radon-Nikodim-derivatet .

Absolut kontinuerliga funktioner

En funktion kallas en absolut kontinuerlig funktion på ett ändligt eller oändligt intervall , om det för någon finns sådan att för varje ändlig uppsättning av parvis disjunkta intervall av domänen för den funktion som uppfyller villkoret , olikheten [1] är uppfylld . $f\vänster(x\höger)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\left(x_{i},y_{i}\right)$ $f$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

En funktion som är absolut kontinuerlig på ett intervall är enhetligt kontinuerlig och därför kontinuerlig . Det omvända är inte sant.

Egenskaper

Varje absolut kontinuerlig funktion har begränsad variation på intervall med ändlig längd .

Absolut kontinuerliga funktioner bildar ett vektorrum . Dessutom bildar de ett slutet underrum i utrymmet för funktioner av begränsad variation.

Produkten av funktioner som är absolut kontinuerliga på ett intervall med ändlig längd ger en absolut kontinuerlig funktion.

Varje absolut kontinuerlig funktion kan representeras som skillnaden mellan två icke-minskande absolut kontinuerliga funktioner.

Låt en absolut kontinuerlig funktion på . Sedan är det differentierbart nästan överallt; den generaliserade derivatan är Lebesgue-integrerbar och likheten gäller för alla : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\i[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Omvänt är en funktion som har en Lebesgue-integrerbar generaliserad derivata på ett intervall absolut kontinuerlig på den, upp till en uppsättning av Lebesgue-mått noll.

Om en funktion är absolut kontinuerlig på ett segment och absolut kontinuerlig på ett segment som innehåller alla värden på , då är det nödvändigt och tillräckligt att den är en funktion av begränsad variation för att en superposition ska vara absolut kontinuerlig ( Fichtengolz sats ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Varje absolut kontinuerlig funktion har Luzin-egenskapen .
En variation av en absolut kontinuerlig funktion är absolut kontinuerlig. $V_{a}^{x}(f)$ $f$
Låt och vara absolut kontinuerlig på , då är den klassiska formeln för integration av delar giltig för dem. $f$ $g$ $[a,b]$
Låt det vara differentierbart vid varje punkt i segmentet (det är viktigt att exakt vid varje punkt), och vara integrerad på i betydelsen Lebesgue, var sedan absolut kontinuerlig. $f$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $f$

Exempel

Varje Lipschitz-funktion är absolut kontinuerlig.

Följande funktioner är kontinuerliga men inte absolut kontinuerliga

Kantorfunktionen ;
fungera

f(x)={\begin{fall}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{ fall}}

på ändliga intervall innehållande 0;

funktion på obegränsade intervall. $f(x)=x^{2}$

Se även

Anteckningar

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Verklig och funktionell analys: universitetskurs. - M.-Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", Institutet för datorforskning, 2009. - P. 188. - 724 sid. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Litteratur

Nikolsky S.M. Kurs i matematisk analys. - 3:a. — M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 sid. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 sid.