Parallella linjer

Parallella linjer (från andra grekiska παράλληλος bokstavligen "går sida vid sida; går längs den andra") i planimetri är icke- korsande linjer . I stereometri kallas två linjer parallella om de ligger i samma plan och inte skär varandra.

I euklidisk geometri

I euklidisk geometri är parallella linjer raka linjer som ligger i samma plan och inte skär varandra [1] . I en annan version av definitionen anses också sammanfallande linjer vara parallella [2] [3] .

Fördelen med den senare definitionen är att parallellism blir en ekvivalensrelation [4] .

Parallellism av linjer och betecknas vanligtvis enligt följande: $m$ $n$ $m\parallel n.$

Egenskaper

Genom vilken punkt som helst som inte ligger på en linje kan man dra en linje parallell med den givna, och dessutom bara en . Den sista delen av detta uttalande är Euklids berömda femte postulat . Förkastande av det femte postulatet leder till Lobachevskys geometri (se nedan).
Om en linje skär en av de parallella linjerna, så skär den den andra (en sådan linje kallas secant ). I det här fallet bildas 8 hörn, varav några karakteristiska par har speciella namn och egenskaper:
- Motsvarande vinklar är lika (Fig.1).
- De tvärliggande vinklarna är lika (fig. 2).
- Interna ensidiga vinklar uppgår till 180° (Fig.3).


Fig.1: Motsvarande vinklar är lika, . ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1))$	Fig.2: Invändiga tvärliggande vinklar är lika, . ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1))$	Fig.3: Ensidiga hörn är valfria, . $\alpha +\delta _{1}=180^{\circ }$

Om vi betraktar sammanfallande linjer som parallella, kommer parallellism att vara en binär ekvivalensrelation som delar upp hela uppsättningen linjer i klasser av linjer parallella med varandra.
Uppsättningen av punkter i ett plan som ligger på ett visst fast avstånd från en given linje, på ena sidan av den, är en linje parallell med den givna linjen.

Konstruktion av parallella linjer

Konstruktionen av två parallella linjer på ett plan med hjälp av en kompass och en linjal kan delas in i flera steg:

Konstruktion av en linje , i förhållande till vilken du vill bygga en parallell linje. $a$
Konstruktion av en linje vinkelrät mot en linje (se konstruktion av en vinkelrät ). $b$ $a$
Konstruktion av en linje vinkelrät mot linjen b, och inte sammanfallande med linjen (liknande konstruktionen av en linje ). $c$ $a$ $b$

I stereometri

I planimetri , två distinkta linjer antingen skär eller är parallella. I stereometri är ett tredje alternativ möjligt - linjerna kanske inte skär varandra, eftersom de inte ligger i samma plan. Sådana linjer kallas skeva linjer .

I Lobatsjovskijs geometri

I Lobatsjovskijs geometri i planet, genom en punkt utanför en given linje , passerar en oändlig uppsättning linjer som inte skär varandra . En rät linje kallas en likbent rät linje i riktningen från till om: $C$ $AB$ $AB$ $CE$ $AB$ $A$ $B$

punkterna och ligger på samma sida av linjen ; $B$ $E$ $AC$
linjen skär inte linjen , men varje stråle som passerar inuti vinkeln skär strålen . $CE$ $AB$ $ESS$ $AB$

På samma sätt definieras en rät linje, likbent i riktningen från till . $AB$ $B$ $A$

Liksidiga linjer kallas också asymptotiskt parallella eller helt enkelt parallella . Alla andra linjer som inte skär denna kallas ultraparallella eller divergenta [5] .

Egenskaper

Divergerande parallella linjer har en enda gemensam vinkelrät.
- Denna vinkelrät förbinder det närmaste paret av punkter på dessa linjer.

Trots att asymptotiskt parallella linjer inte skär varandra, kan man på vilket par av asymptotiskt parallella linjer som helst välja godtyckligt nära punkter.

Se även

Anteckningar

↑ Parallella linjer // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Zemlyakov A. N. Axiomatic approach to geometri (uppsats) // Matematisk utbildning. - 2001. - Nr 3 (18) . - S. 4-21 .
↑ Hadamard J. Elementär geometri . - M. , 1948. - S. 52 .
↑ Shikhanovich Yu. A. Introduktion till modern matematik (inledande begrepp). - M. : Nauka, 1965. - S. 259. - 376 sid.
↑ Matematisk handbok (otillgänglig länk) . Hämtad 8 juli 2016. Arkiverad från originalet 23 september 2016. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss