Antiparallella linjer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Antiparallella linjer - linjer som bildar lika vinklar i skärningspunkten mellan två givna linjer (eller sidor av en given vinkel), men från motsatta sidor (Fig. 1).

Definition

Linjerna och kallas antiparallella med avseende på linjerna och , om i fig. 1. Om linjerna och skär någon gång , då och kallas också antiparallell med avseende på vinkeln . Om linjerna och sammanfaller, så kallas de antiparallella med avseende på en linje (Fig. 2) [1] . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $\angle 1=\angle 2$ $m_1$ $m_2$ $O$ $l_{1}$ $l_{2}$ ${\displaystyle m_{1}\!Om_{2))$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$

Det kan ses från definitionen att, till skillnad från parallellism , är antiparallelism av två linjer ett relativt begrepp. Det är meningslöst att säga att "linjer och antiparalleller" såvida det inte specificeras med avseende på vilken vinkel eller vilka två linjer de är antiparallella. Men när man betraktar trianglar, sägs det ofta att någon linje är "anti-parallell med en sida av triangeln", samtidigt som den antyder att den är anti-parallell med den med avseende på de andra två sidorna . En sådan rät linje kallas också antiparallellen av en triangel [2] . $l_{1}$ $l_{2}$

Egenskaper

Om linjerna och är antiparallella med avseende på och , då är de också antiparallella med avseende på och . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$
Två linjer är antiparallella med avseende på en vinkel om och endast om de bildar samma vinkel, men i motsatta riktningar, med bisektrisen för denna vinkel (fig. 3). $l_{1}$ $l_{2}$
Två raka linjer, antiparallella med avseende på vinkelns sidor, skär av omvänt proportionella segment på dem. Omvänt är linjer med denna egenskap antiparallella. Detta antyder omedelbart (genom sekantsatsen ) att

Skärningspunkterna för två par antiparallella linjer ligger på samma cirkel. Och vice versa, för varje fyrhörning inskriven i en cirkel, är två motsatta sidor antiparallella med avseende på de andra två sidorna (Fig. 4).

Alla antiparalleller till någon sida av triangeln är parallella med varandra.
Om cirkeln som passerar genom hörnen och av triangeln skär sidorna och vid punkterna respektive , då är linjen antiparallell . Om cirkelns radie ökas så att den också passerar genom vertexet , så blir sekanten tangent i punkten . Följaktligen, $B$ $C$ $ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $F$ $DF$ $före Kristus$ $A$ $DF$ $A$

En tangent till en cirkel omskriven runt en triangel, ritad vid en av dess hörn, är antiparallell till den motsatta sidan. Det är därför
Radien för den omskrivna cirkeln, ritad från triangelns spets, är vinkelrät mot alla linjer antiparallellt mot den motsatta sidan.

Linjen som förbinder baserna för de två höjderna i en triangel är antiparallell mot den tredje sidan (eftersom baserna för höjderna ligger på cirkeln ritad på den sidan som en diameter), så sidorna av en ortocentrisk triangel är antiparallella med sidorna av den ursprungliga triangeln.

Historik

Tydligen användes termen "antiparallell" först av Leibniz ( Acta Eruditorum , 1691, s.279), men han gav det en annan innebörd. Definitionen av antiparallella linjer i modern mening ges i E. Stones bok "A New Mathematical Dictionary" (1743). [3] Se även [4] [5] .

Se även

Anteckningar

↑ A. B. Ivanov. Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Efremov D. Ny geometri för en triangel . - Odessa, 1902.
↑ F. Cajori. Grundläggande matematiks historia / övers. från engelska. ed. I.Yu. Timchenko. - Odessa, 1910. - S. 282.
↑ WJ James. Användningen av ordet antiparallell // Nature. - 1889. - T. 41 , N:o 1045 . - S. 10 .
↑ E. M. Langley. Om användningen av ordet antiparallell // Nature. - 1889. - T. 41 , N:o 1049 . - S. 104-105 .

Litteratur

Efremov D. Ny triangelgeometri . - Odessa, 1902.
Zetel S.I. Ny triangelgeometri. - M. , 1962.

Länkar

Weisstein, Eric W. Antiparallel (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .