Vinkelhastighet

Vinkelhastighet
$\omega$
Dimensionera	T −1
Enheter
SI	rad / s
GHS	rad/s
Andra enheter	grad / s rpm / s rpm

Vinkelhastighet är en vektorstorhet som kännetecknar hastigheten och rotationsriktningen för en materialpunkt eller absolut stel kropp i förhållande till rotationsaxeln. Vinkelhastighetsmodulen för rotationsrörelse sammanfaller med den momentana vinkelfrekvensen för rotation , och riktningen är vinkelrät mot rotationsplanet och är relaterad till rotationsriktningen genom regeln för den högra skruven . Strängt taget representeras vinkelhastigheten av en pseudovektor (axiell vektor) , och kan även representeras som en skevsymmetrisk tensor [1] .

Vinkelhastighet i två dimensioner

Vektorrepresentation i 3D-rymden

I det tredimensionella rymden är vinkelhastighetsvektorn lika stor som rotationsvinkeln för en punkt runt rotationscentrum per tidsenhet:

\omega ={\frac {d\varphi }{dt)),

och är riktad längs rotationsaxeln enligt gimletregeln , det vill säga i den riktning i vilken gimleten eller skruven med högergänga skulle skruvas in om den roterade i denna riktning. Ett annat mnemoniskt tillvägagångssätt för att komma ihåg förhållandet mellan rotationsriktningen och vinkelhastighetsvektorns riktning är att, för en hypotetisk observatör vid slutet av vinkelhastighetsvektorn som går ut från rotationscentrum, själva rotationen uppträder moturs .

Vinkelhastigheten är en axiell vektor (pseudovektor). När koordinatsystemets axlar reflekteras ändrar komponenterna i en vanlig vektor (till exempel radievektorn för en punkt) tecken. Samtidigt förblir pseudovektorns komponenter (i synnerhet vinkelhastigheten) desamma under en sådan koordinattransformation.

Tensorrepresentation

Måttenheter

Måttenheten för vinkelhastighet, som används i International System of Units (SI) och i CGS- och MKGSS- systemen , är radian per sekund (rysk beteckning: rad / s , internationell: rad / s ) [2] [Komm 1 ] . Tekniken använder också varv per sekund, mycket mindre ofta - grader, minuter, bågsekunder per sekund, grader per sekund. Varv per minut används ofta inom teknik - detta har pågått sedan de tider då varvtalet för lågvarviga ångmaskiner bestämdes helt enkelt genom ögat, räknat antalet varv per tidsenhet.

Egenskaper

Den momentana hastighetsvektorn för vilken punkt som helst av en absolut stel kropp som roterar med en vinkelhastighet bestäms av formeln: ${\vec {\omega ))$

{\vec v}=[\ {\vec \omega },{\vec r}\ ],

där är radievektorn till den givna punkten från origo som ligger på kroppens rotationsaxel, och hakparenteser anger korsprodukten . Den linjära hastigheten (sammanfaller med modulen för hastighetsvektorn) för en punkt på ett visst avstånd ( radie ) från rotationsaxeln kan betraktas på följande sätt: Om andra vinkelmått används istället för radianer, då en multiplikator inte lika med ett visas i de två sista formlerna. ${\vec {r))$ $r$ $v=\omega r.$

I fallet med en planrotation, det vill säga när alla hastighetsvektorerna för kroppens punkter alltid ligger i samma plan ("rotationsplanet"), är kroppens vinkelhastighet alltid vinkelrät mot detta plan, och i själva verket, om rotationsplanet är känt, kan det ersättas av en skalär - en projektion på rotationsaxeln, det vill säga på en rät linje, ortogonal mot rotationsplanet. I detta fall förenklas rotationskinematiken avsevärt. Men i det allmänna fallet kan vinkelhastigheten ändra riktning över tiden i tredimensionellt rum, och en sådan förenklad bild fungerar inte.
Rörelse med konstant vinkelhastighetsvektor kallas enhetlig rotationsrörelse (i detta fall är vinkelaccelerationen noll). Enhetlig rotation är ett specialfall av platt rotation.
Den derivata av vinkelhastigheten med avseende på tid är vinkelaccelerationen .
Vinkelhastigheten (betraktad som en fri vektor) är densamma i alla tröghetsreferenssystem , som skiljer sig i referenspunktens position och hastigheten på dess rörelse, men rör sig likformigt i en rak linje och translationellt i förhållande till varandra. Men i dessa tröghetsreferensramar kan positionen för axeln eller rotationscentrum för en och samma specifika kropp vid samma tidpunkt skilja sig åt (det vill säga, det kommer att finnas en annan "appliceringspunkt" för vinkeln hastighet).
I fallet med en punkt som rör sig i tredimensionell rymd, kan du skriva ett uttryck för vinkelhastigheten för denna punkt i förhållande till det valda origo :

{\vec \omega }={\frac {{\vec r}\times {\vec v}}{({\vec r},{\vec r}}))),

där är radievektorn för punkten (från origo), är hastigheten för denna punkt, är vektorprodukten , är skalärprodukten av vektorer. Denna formel bestämmer dock inte unikt vinkelhastigheten (i fallet med en enda punkt kan du välja andra vektorer som är lämpliga per definition, på annat sätt - godtyckligt - genom att välja rotationsaxelns riktning), men för det allmänna fallet (när kroppen innehåller mer än en materialpunkt) - denna formel är inte sann för hela kroppens vinkelhastighet (eftersom den ger olika värden för varje punkt, och när en absolut stel kropp roterar, vinkelhastigheten hastighetsvektorer för rotation av alla dess punkter sammanfaller). Men i det tvådimensionella fallet (fallet med planrotation) är denna formel ganska tillräcklig, entydig och korrekt, eftersom det i detta speciella fall är känt att rotationsaxelns riktning är unikt bestämd.

{\vec {r))

{\vec {v}}

{\vec r}\ gånger {\vec v}

({\vec r},{\vec r})

{\vec \omega },

{\vec {\omega ))

I fallet med enhetlig rotationsrörelse (det vill säga rörelse med en konstant vinkelhastighetsvektor) av en absolut stel kropp, utför de kartesiska koordinaterna för de punkter på kroppen som roterar på detta sätt harmoniska svängningar med en vinkelfrekvens som är lika med modulus för vinkelhastighetsvektorn.

Vid mätning av vinkelhastighet i varv per sekund (varv/s) sammanfaller vinkelhastighetsmodulen för enhetlig rotationsrörelse med rotationsfrekvensen f , mätt i hertz (Hz), det vill säga i sådana enheter . vanlig fysisk enhet för vinkelhastighet - radianer per sekund - vinkelhastighetsmodulen är numeriskt relaterad till rotationshastigheten enligt följande: Slutligen, när du använder grader per sekund, kommer det numeriska förhållandet till rotationshastigheten att vara: $\omega =f.$ $\omega ={2\pi f}.$ $\omega ={360^{\circ }f}.$

Anslutning med ändlig rotation i rymden

Låt den tidsvarierande rotationen ges av vinkeln och enhetsvektorn för den slutliga rotationsaxeln i rymden Då är den vinkelhastighet som motsvarar denna rotation lika med $\;\theta (t)$ ${\vec {n}}(t).$

{\vec {\omega }}={\vec {n}}{\dot {\theta }}+{\dot ({\vec {n}}}}\sin \theta +{\vec {n}} \times {\dot {{\vec n}}}(1-\cos \theta ).

Om rotationen ges av rotationsmatrisen , var är Kronecker-symbolen , är Levi-Civita-symbolen (summering utförs enligt Einstein-regeln från 1 till 3), uttrycket för vars element genom och kan erhållas, Om du till exempel använder Rodrigues formel , är vinkelhastigheten lika med $T_{ij}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos \theta -n_{k}\varepsilon _{ijk}\ sin\theta ,$ $\;\delta _{{ij}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $\;\theta$ ${\vec {n}}$

\omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{{ijk}}T_{{jn}}{\dot {T}}_{{kn}}.

Om en kvaternion används för att beskriva rotationen , uttryckt i termer av vinkeln och enhetsvektorn för rotationsaxeln, så hittas vinkelhastigheten från uttrycket $\;\theta$ ${\vec {n}}$ $q={\bigl (}\cos(\theta /2),{\vec {n}}\sin(\theta /2){\bigr )},$ $\left(0,{\vec {\omega }}\right)=2\,{\dot {q}}\,\overline {q}.$

I det fall då rotationen beskrivs med en tidsvarierande vektor, betecknar vi också och - halvrotationsmatrisen - kvadraten på vektorns modul . Därefter vinkelhastigheten: ${\vec {V}}={\vec {n}}\operatörsnamn {tg}(\theta /4),$ ${\vec {W}}=d{\vec {V}}/dt\ {\bigl (}W_{i}=dV_{i}/dt{\bigr )},$ $T_{ij}^{1/2}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos(\theta /2)-n_ {k}\varepsilon _{ijk}\sin(\theta /2)$ $\;{\bigl (}T_{{ij}}^{{1/2}}T_{{jk}}^{{1/2}}=T_{{ik}}{\bigr )},$ $\;V^{2}$ ${\vec {V}).$

\omega _{i}={\frac {4T_{{ij}}^{{1/2}}W_{{j}}}{1+V^{2}}}.

Anteckningar

Kommentarer

↑ Planvinkel , definierad som förhållandet mellan längden av cirkelbågen i en cirkel innesluten mellan två radier och längden på radien, är dimensionslös , därför är måttenheten för planvinklar talet "ett" och enheten för mätning av vinkelhastighet i SI-systemet är s −1 . Men i fallet med plana vinklar ges enheten "ett" det speciella namnet "radian" för att underlätta förståelsen av vilken fysisk storhet som avses i varje särskilt fall [3] .

Källor

↑ Ishlinsky A. Yu. Klassisk mekanik och tröghetskrafter / Ed. ed. B. V. Raushenbakh . - M . : "Nauka", 1987. - S. 239.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Kvantitetsenheter. Ordbokshänvisning. - M . : Publishing house of standards, 1990. - S. 98. - 240 sid. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Enheter för kvantiteter minus kvantiteter , kvantiteter av kvantiteter SI-broschyr: The International System of Units (SI) . Bureau International des Poids et Mesures (2006; uppdaterad 2014). Tillträdesdatum: 29 januari 2016.

Se även

Litteratur

Lur'e A. I. Analytisk mekanik. - M. : GIFML, 1961. - S. 100-136. — 824 sid.