Vektorkvantitet

En vektorkvantitet  är en fysisk storhet som är en vektor ( en tensor av rang 1). Å ena sidan är det emot skalär (tensorer av rang 0), å andra sidan till tensorkvantiteter (strängt taget, till tensorer av rang 2 eller mer). Det kan också stå i motsats till vissa objekt av en helt annan matematisk natur.

I de flesta fall används termen vektor inom fysiken för att beteckna en vektor i det så kallade "fysiska rummet", det vill säga i det vanliga tredimensionella rummet i klassisk fysik eller i fyrdimensionell [1] rumtid i modern fysik (i det senare fallet sammanfaller konceptet med en vektor och en vektorkvantitet med begreppen en 4-vektor och en 4-vektorstorhet).

Användningen av frasen "vektorkvantitet" är praktiskt taget uttömd av detta. När det gäller användningen av termen "vektor" går den, trots benägenheten som standard till samma tillämplighetsområde, i ett stort antal fall fortfarande mycket långt över sådana gränser. Se nedan för mer om detta.

Användning av termerna vektor och vektorkvantitet i fysik

Trots det faktum att förståelsen av vektorn från de fysiska och matematiska sidorna är praktiskt taget densamma, uppstår terminologisk specificitet på grund av olika grader av abstraktion.

När det gäller fysik i matematik är begreppet vektor redundant: vilken vektor som helst kan ha vilken natur som helst, oändligt abstrakt utrymme och dimension. När detaljer krävs, är det antingen nödvändigt att specificera utförligt eller ta hänsyn till det explicit beskrivna sammanhanget, vilket ofta leder till förvirring.

Inom fysiken talar vi dock nästan alltid inte om matematiska objekt (som har vissa formella egenskaper) i allmänhet, utan om deras specifika, specifika, "fysiska" bindning. Med tanke på dessa överväganden om konkrethet med hänsyn till korthet och bekvämlighet kan man förstå att terminologisk praktik i fysiken skiljer sig markant från matematisk praktik. Det går dock inte in i en klar motsättning med det senare. Detta kan uppnås på flera enkla sätt. För det första är det en konvention att det finns en viss användning av standardtermen - i ett implicit sammanhang. Så i fysiken, till skillnad från matematik, förstås ordet vektor vanligtvis inte som "någon vektor av något linjärt utrymme i allmänhet", utan först och främst som en vektor som är associerad med "vanligt fysiskt utrymme" (tredimensionellt utrymme i klassisk fysik eller fyrdimensionell rum-tid [2] relativistisk fysik). För vektorer av utrymmen som inte är direkt och direkt relaterade till "fysiskt rum" eller "rum-tid", använd bara speciella namn (ibland inklusive ordet "vektor", men med förtydligande). Om en vektor av något rum som inte är direkt och direkt relaterad till "fysiskt rum" eller "rum-tid" (och som är svår att omedelbart karakterisera på något bestämt sätt) introduceras i teorin, beskrivs den ofta specifikt som en "abstrakt vektor".

Allt ovanstående, till och med mer än termen "vektor", gäller för termen "vektorkvantitet". Standardinställningen i detta fall innebär ännu tydligare en bindning till "vanligt rum" eller rum-tid, och användningen av abstrakta vektorrum i förhållande till element påträffas nästan aldrig (åtminstone är det ett mycket sällsynt undantag).

Inom fysiken kallas vektorer oftast (och vektorkvantiteter - nästan alltid) vektorer av två liknande klasser:

1. inom klassisk fysik (klassisk mekanik, elektrodynamik i den klassiska tredimensionella formuleringen och inom andra områden av fysiken, huvudsakligen bildade före början av 1900-talet) brukar vektorstorheter eller helt enkelt vektorer kallas vektorer för det vanliga tredimensionella rummet - att är vanliga "geometriska" vektorer eller kan skilja sig från de med en skalär faktor (inklusive en dimensionell faktor). Även om det i dessa fysikområden faktiskt användes olika objekt som identifierats av modern matematik som vektorer, fick detta i fysikalisk terminologi ett mycket litet svar (till exempel används Fouriertransformen i klassisk elektrodynamik och den klassiska teorin om kontinuum mycket intensivt, men traditionellt anses nästan inte i sammanhanget klassisk med användningen av ordet "vektor" i relation till funktioner, även om det ur en matematisk synvinkel skulle vara ganska lagligt [3] ). Det kanske enda anmärkningsvärda undantaget från regeln är den ganska fria driften av vektorerna för elementen i fas- eller konfigurationsutrymmena [4] .
2. i relativistisk fysik [5] (som börjar med Poincaré, Planck och Minkowski) och, i stor utsträckning, inom modern teoretisk fysik, förstås vektorer och vektorstorheter i första hand som vektorer av fyrdimensionell rumtid [6] och är direkt relaterade till den (som skiljer sig med skalär multiplikator av 4-förskjutningsvektorer) är 4-vektorer .
3. inom kvantmekanik, kvantfältteori, etc., har ordet "vektor" också blivit standardanvänt för att referera till ett sådant objekt som en tillståndsvektor . Denna vektor kan i princip ha vilken dimension som helst, och som regel är den oändlig dimensionell. Det finns dock praktiskt taget ingen förvirring, eftersom ordet vektor används här uteslutande i en stabil kombinationstillståndsvektor , och aldrig separat, utom kanske i fall där sammanhanget redan är så uppenbart att förvirring helt enkelt är omöjlig (till exempel när en enda ordvektor används upprepade gånger i relation till ett objekt , som strax innan namngavs som en tillståndsvektor eller med entydiga specifika beteckningar - såsom Dirac-parenteser - eller deras motsvarande termer. Specialord används för ett antal vektorer av specifika utrymmen (t.ex. som t.ex. spinorer ) eller explicita namn (färgrymdsvektor, isotopspinn). Dessutom appliceras uttrycket "vektorkvantitet" nästan aldrig på sådana abstrakta vektorer. Allt detta gjorde att termen "vektor" kunde behålla, kanske, sin huvudsaklig betydelse - betydelsen av 4-vektorn Det är denna betydelsen är inbäddad i termerna vektorfält , vektor partikeln ( vektorboson , vektormeson ). Ordet "skalär" har också en konjugerad betydelse i sådana termer .

Exempel på vektorfysiska storheter: hastighet , kraft , värmeflöde .

Uppkomst av vektorkvantiteter

Hur är fysiska "vektormängder" knutna till rymden? Först och främst är det slående att dimensionen av vektorkvantiteter (i den vanliga betydelsen av användningen av denna term, som förklaras ovan) sammanfaller med dimensionen av samma "fysiska" (och "geometriska") utrymme, till exempel , rymden är tredimensionell och de elektriska vektorfälten är tredimensionella. Intuitivt kan man också märka att vilken fysisk vektorkvantitet som helst, oavsett hur vag den är i samband med den vanliga rumsliga förlängningen, ändå har en ganska bestämd riktning i detta vanliga rum.

Det visar sig emellertid att mycket mer kan uppnås genom att direkt "reducera" hela uppsättningen av vektorkvantiteter i fysiken till de enklaste "geometriska" vektorerna, eller snarare, till och med till en vektor - vektorn för elementär förskjutning, men det skulle vara mer korrekt att säga - genom att härleda dem alla från det.

Denna procedur har två olika (även om de i huvudsak upprepar varandra i detalj) implementeringar för det tredimensionella fallet med klassisk fysik och för den fyrdimensionella rum-tidsformuleringen som är vanlig för modern fysik.

Det klassiska tredimensionella fallet

Vi kommer att utgå från det vanliga tredimensionella "geometriska" utrymmet där vi lever och kan röra oss.

Låt oss ta den infinitesimala förskjutningsvektorn som den initiala och exemplariska vektorn. Det är ganska uppenbart att detta är en vanlig "geometrisk" vektor (liksom en ändlig förskjutningsvektor).

Nu noterar vi direkt att multiplicera en vektor med en skalär alltid ger en ny vektor. Detsamma kan sägas om summan och skillnaden av vektorer. I detta kapitel kommer vi inte att göra någon skillnad mellan polära och axiella vektorer [7] , så vi noterar att korsprodukten av två vektorer också ger en ny vektor.

Den nya vektorn ger också differentieringen av en vektor med avseende på en skalär (eftersom en sådan derivata är gränsen för förhållandet mellan skillnaden mellan vektorer och en skalär). Detta kan sägas vidare om derivaten av alla högre ordrar. Detsamma gäller för integration över skalärer (tid, volym).

Nu noterar vi att, med utgångspunkt från radievektorn r eller från den elementära förskjutningen d r , förstår vi lätt att vektorerna är (eftersom tiden är en skalär) sådana kinematiska storheter som

• fart
• acceleration

Från hastighet och acceleration, multiplicerat med en skalär (massa), framträder

• fart ,
• kraft .

Eftersom vi nu också är intresserade av pseudovektorer noterar vi det

• vinkelhastighet ,
• vinkelmoment  – ​​framträda på ett helt förståeligt sätt. [åtta]

• med hjälp av Lorentz kraftformel binds den elektriska fältstyrkan och den magnetiska induktionsvektorn till kraft- och hastighetsvektorerna.

Om vi ​​fortsätter med denna procedur finner vi att alla vektorkvantiteter som vi känner till nu inte bara intuitivt, utan också formellt, är bundna till det ursprungliga rummet. Alla är nämligen i en viss mening dess element, eftersom de i huvudsak uttrycks som linjära kombinationer av andra vektorer (med skalära faktorer, möjligen dimensionella, men skalära, och därför formellt sett ganska lagliga).

Det moderna fyrdimensionella fallet

Samma procedur kan göras med utgångspunkt från en fyrdimensionell förskjutning. Det visar sig att alla 4-vektorskvantiteter "kommer" från 4-förskjutning, och är därför i någon mening samma vektorer av rum-tid som själva 4-förskjutningen.

Typer av vektorer i relation till fysik

• En polär eller sann vektor  är en vanlig vektor.
• Axial vektor (pseudo-vektor) - i själva verket är det inte en reell vektor, men formellt skiljer den sig nästan inte från den senare, förutom att den ändrar riktning till motsatt när koordinatsystemets orientering ändras (till exempel när koordinaten systemet speglas). Exempel på pseudovektorer: alla kvantiteter definierade genom korsprodukten av två polära vektorer.
• Det finns flera olika ekvivalensklasser för krafter .

Anteckningar

1. ↑ I många moderna teorier är dimensionen av den fundamentala rumtiden större än 4; men i princip förändras detta ganska mycket, dessutom har ingen av dessa teorier ännu nått status som allmänt accepterad och tillräckligt bekräftad.
2. ↑ I många moderna teorier, till exempel inom strängteorin , är rum-tid inte 4-dimensionell, utan har fler dimensioner, dock är det oftast en ganska direkt och enkel generalisering av dess 4-dimensionella prototyp, och möjligheten att förvirring är praktiskt taget utesluten av sammanhanget för dessa teorier själva (för att inte tala om det faktum att dimensionen då ofta anges explicit, och förutom dimensionen antas inte skillnader från den vanliga rum-tiden).
3. ↑ För att undvika motsättningar mellan fysisk och matematisk terminologi finns det ett sådant sätt: istället för uttrycket "vektor av ett sådant och ett sådant utrymme", kan du använda en synonym - "element av ett sådant och ett utrymme". Matematiskt är det helt likvärdigt, men skapar inte förvirring när det används tillsammans med terminologiska traditioner som är typiska för fysiken.
4. ↑ det är svårt att säga vad som tjänade detta i större utsträckning: det faktum att dessa utrymmen (särskilt de konfigurerade) verkar vara en alltför direkt generalisering av det vanliga fysiska rummet, i särskilda fall, helt enkelt med det senare sammanfallande, eller att teoretisk mekanik där dessa begrepp uppstod anses inte vara en gren av fysiken, utan av matematiken.
5. ↑ Relativistisk fysik syftar här i första hand på den standardiserade 4-dimensionella formuleringen av relativistisk mekanik, elektrodynamik och andra teorier. I princip används denna formulering för både kvantteorier och icke-kvantteorier.
6. ↑ Den mest uppenbara vägen ut ur detta ramverk som standard (det vill säga utan speciella terminologiska förtydligande markörer) är de teorier som redan nämnts, baserade på antagandet om en mer än 4 dimension av den grundläggande fysiska rumtiden, med utgångspunkt från Kaluza-teorin , till strängteori, etc. d.
7. ↑ Om det behövs är en sådan uppdelning lätt att göra, men vi är nu intresserade av den första konstruktionen av den mest kompletta uppsättningen av vektorfysiska kvantiteter, och inte deras klassificering, och vi kommer att fokusera på detta.
8. ↑ För vinkelhastighet är det dock lättast att tillämpa det omvända resonemanget: eftersom vektorprodukten av vinkelhastighet och radievektorn är hastighet, så är vinkelhastigheten en vektor (närmare bestämt en pseudovektor).