Acceleration

Acceleration
${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$
Dimensionera	LT- 2
Enheter
SI	m/s²
GHS	cm/s²
Anteckningar
vektorkvantitet

Acceleration (vanligtvis betecknad med latinska bokstäver a (av lat. acceleratio ) eller w ) är en fysisk storhet som bestämmer förändringshastigheten i en kropps hastighet, det vill säga den första derivatan av hastighet med avseende på tid . Acceleration är en vektorkvantitet som visar hur mycket hastighetsvektorn för en kropp förändras när den rör sig per tidsenhet: ${\vec {v}}$

\vec a={d\vec v \over dt}.

Till exempel, kroppar som faller fritt nära jordens yta längs vertikalen, i de fall där luftmotståndet de upplever är litet, ökar deras hastighet med cirka 9,8 m / s per sekund, det vill säga deras acceleration är ungefär lika med 9,8 m / s² . Med icke-rätlinjär rörelse beaktas inte bara förändringen av hastighetens storlek, utan också dess riktning: till exempel är accelerationen av en kropp som rör sig längs en cirkel med konstant hastighet i absolut värde inte lika med noll: där är en konstant i absolut värde (och variabel i riktning) acceleration riktad mot cirkelns centrum.

Accelerationsenheten i International System of Units (SI) är metern per sekund per sekund (rysk beteckning: m/s 2 ; internationell: m/s 2 ).

Acceleration i punktkinematik

Det mest allmänna fallet

Acceleration och relaterade kvantiteter

Accelerationsvektorn för en materialpunkt vid varje tidpunkt hittas av en enda tidsdifferentiering av hastighetsvektorn för en materialpunkt (eller en tvåfaldig differentiering av radievektorn ):

\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}.

Om koordinaterna och hastighetsvektorn är kända på punktens bana vid någon tidpunkt t 0 , såväl som accelerationens beroende av tiden , kan du genom att integrera denna ekvation få punktens koordinater och hastighet vid vilken som helst tid t (både före och efter ögonblicket t 0 ): $\vec r (t_0) = \vec r_0$ $\vec v(t_0) = \vec v_0$ $\vec a (t),$

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau ) d\tau ,

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{ t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau )d\tau d\xi .

Tidsderivatan av acceleration, det vill säga värdet som kännetecknar accelerationsförändringshastigheten, kallas ryck :

\vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t},

var är ryckvektorn.

\vec j

Kurvrörelseanalys _

Banan för rörelsen av en materialpunkt i ett litet område kan betraktas som platt. Accelerationsvektorn kan utökas i den medföljande basen $\vec a$ $\left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}:$

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau } + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} ,

var

v\

- hastighetsvärde ,

{\vec \tau} = \vec v/|\vec v|

är en enhet som tangerar banvektorn riktad längs hastigheten (tangentiell enhetsvektor ),

{\vec n}

är vektorn för huvudnormalen till banan, som kan definieras som en enhetsvektor i riktningen

d\vec\tau/dl ,

{\vec b}

är orten för det binormala mot banan, vinkelrätt mot både orts och (det vill säga ortogonalt mot banans momentana plan),

{\vec \tau}

{\vec n}

R

är krökningsradien för banan.

Termen som kallas binormal acceleration är alltid lika med noll. Detta kan betraktas som en direkt konsekvens av definitionen av vektorer , vi kan säga att de är valda på ett sådant sätt att den första alltid sammanfaller med den normala accelerationen, medan den andra är ortogonal mot den första. ${a}_b{\vec b},$ $\vec n, \vec b:$

Vektorerna och kallas tangent ( tangentiell ) respektive normalaccelerationer . ${a}_\tau\vec \tau}$ ${a}_n{\vec n}$

Så, givet ovanstående, kan accelerationsvektorn när den rör sig längs vilken bana som helst skrivas som:

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{ R} {\vec n}.

Viktiga specialfall

Enhetligt accelererad rörelse

Om vektorn inte förändras med tiden kallas rörelsen likformigt accelererad . Med jämnt accelererad rörelse förenklas ovanstående allmänna formler till följande form: $\vec a$

\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a,

\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\över 2}\vec a.

Ett specialfall av likformigt accelererad rörelse är fallet när accelerationen är noll under hela rörelsetiden. I det här fallet är hastigheten konstant, och rörelsen sker längs en rätlinjig bana (om hastigheten också är noll, är kroppen i vila), därför kallas en sådan rörelse rätlinjig och enhetlig.

Den likformigt accelererade rörelsen för en punkt är alltid platt, och den för en stel kropp är alltid planparallell ( translationell ). Det omvända är i allmänhet inte sant.

Jämnt accelererad rörelse under övergången till en annan tröghetsreferensram förblir likformigt accelererad.

Fallet med likformigt accelererad rörelse, när accelerationen (konstanten) och hastigheten är riktade längs samma räta linje, men i olika riktningar, kallas likformig långsam rörelse. Enhetlig slow motion är alltid endimensionell. Rörelsen kan betraktas som jämnt bromsad endast till det ögonblick då hastigheten blir lika med noll. Dessutom finns det alltid tröghetsreferensramar där rörelsen inte är lika långsam.

Rättlinjig rörelse

Ett viktigt särskilt fall av rörelse med acceleration är rätlinjig rörelse, när accelerationen när som helst är kolinjär med hastigheten (till exempel fallet med en fallande kropp med en vertikal initialhastighet). Vid rätlinjig rörelse kan man välja en av koordinataxlarna längs rörelseriktningen och ersätta radievektorn och accelerations- och hastighetsvektorerna med skalärer. Samtidigt, vid konstant acceleration, följer det av ovanstående formler att

v^{2}=v_{0}^{2}+2\,as.

Här är v 0 och v kroppens initiala och slutliga hastigheter, a är dess acceleration, s är den väg som kroppen färdas.

Ett antal praktiskt viktiga formler förbinder förfluten tid, tillryggalagd sträcka, uppnådd hastighet och acceleration i likformigt accelererad rätlinjig rörelse med noll ( ) initialhastighet: $v_{0}=0$

t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \frac{v}{a} = \frac{2s}{v}, \qquad\qquad s = \frac{vt}{2}=\ frac{at^2}{2} = \frac{v^2}{2a},

v = \sqrt{2 \, as} = at = \frac{2s}{t}, \qquad\qquad a = \frac{v}{t} = \frac{2s}{t^2} = \frac {v^2}{2s},

så vilka två av dessa kvantiteter som helst bestämmer de andra två (här antas att tiden räknas från början av rörelsen: t 0 = 0 ).

Cirkulär rörelse

Accelerationsvektor

\vec a = \frac{d \vec v}{dt}

när en punkt rör sig längs en cirkel kan den delas upp i två termer (komponenter):

\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n .

Tangentiell eller tangentiell acceleration(ibland betecknad, etc., beroende på vilken bokstav i en viss text det är vanligt att beteckna acceleration) riktas tangentiellt mot banan. Det är en komponent i accelerationsvektornkolinjär med den momentana hastighetsvektorn. Karakteriserar modulohastighetsändringen. $\vec a_\tau$ $\vec w_\tau, \vec u_\tau$ $\vec a,$

\vec a_\tau = \frac{\vec v}{|\vec v|} \cdot \frac{d |\vec v|}{dt}.

Centripetal eller normal acceleration(även betecknad ibland, etc.) inträffar (inte lika med noll) alltid när en punkt rör sig inte bara längs en cirkel, utan också längs vilken bana som helst med en krökning som inte är noll. Det är en komponent av accelerationsvektornvinkelrät mot den momentana hastighetsvektorn. Karakteriserar förändringen i hastighet i riktning. Den normala accelerationsvektorn är alltid riktad mot den momentana rotationsaxeln, $\vec a_n$ $\vec w_n, \vec u_n$ $\vec a,$

\vec a_n = {|\vec v|} \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{|\vec v|},

och modulen är

|\vec a_n| = \omega ^2 r = {v^2 \över r},

där ω är vinkelhastigheten kring rotationscentrum och r är cirkelns radie.

Utöver dessa två komponenter används också begreppet vinkelacceleration , som visar hur mycket vinkelhastigheten har förändrats per tidsenhet, och, på samma sätt som linjär acceleration, beräknas enligt följande:

\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}.

Vektorns riktning indikerar här om hastighetsmodulen ökar eller minskar. Om vektorerna för vinkelacceleration och vinkelhastighet är samriktade (eller åtminstone deras skalära produkt är positiv), ökar hastighetsvärdet och vice versa.

I det speciella fallet med enhetlig rörelse längs en cirkel är vektorerna för vinkelacceleration och tangentiell acceleration lika med noll, och centripetalaccelerationen är konstant i absolut värde.

Acceleration i komplex rörelse

Det sägs att en materiell punkt (kropp) utför en komplex rörelse om den rör sig i förhållande till någon referensram, och som i sin tur rör sig i förhållande till en annan "laboratorisk" referensram. Då är kroppens absoluta acceleration i laboratoriesystemet lika med summan av de relativa, translationella och Coriolisaccelerationerna :

{\vec {a}}={\vec {a}}_{r'}+{\vec {a}}_{e}+2\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{r'}\right].

Den sista termen innehåller vektorprodukten av rotationsvinkelhastigheten för den rörliga referensramen och hastigheten för en materialpunkt i denna rörliga ram.

Accelerationer i kinematiken för en stel kropp

Kopplingen mellan accelerationerna för två punkter i en absolut stel kropp A och B kan erhållas från Eulers formel för hastigheterna för dessa punkter:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \left[\vec{\omega}\times\vec{AB}\right],

var är kroppens vinkelhastighetsvektor . Genom att differentiera det med avseende på tid får vi Rivals formel [1] [2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889 [3] ): $\vec{\omega}$

\vec{a}_B = \vec{a}_A + \left[\vec{\omega}\times \left[ \vec{\omega}\times \vec{AB}\right] \right] + \left [ \vec{\varepsilon}\times \vec{AB} \right],

var är kroppens vinkelaccelerationsvektor . $\vec{\varepsilon}$

Den andra termen kallas oscillerande acceleration , och den tredje termen kallas rotationsacceleration [1] .

Skapande av acceleration. Punktdynamik _

Newtons första lag postulerar att det finns tröghetsreferensramar . I dessa referenssystem uppstår en enhetlig rätlinjig rörelse när kroppen ( materialpunkt ) inte utsätts för någon yttre påverkan under sin rörelse. På grundval av denna lag uppstår begreppet kraft , som är nyckeln för mekanik, som sådan en yttre påverkan på en kropp som tar den ur ett vilotillstånd eller påverkar hastigheten på dess rörelse. Således postuleras det att orsaken till acceleration som inte är noll i en tröghetsreferensram alltid är någon yttre kraftpåverkan [4] .

Klassisk mekanik

Newtons andra lag, som tillämpas på icke-relativistisk rörelse (det vill säga rörelse med hastigheter mycket mindre än ljusets hastighet), säger att accelerationen av en materialpunkt alltid är proportionell mot den kraft som appliceras på den och genererar accelerationen, och proportionalitetskoefficienten är alltid densamma oavsett typ av kraftpåverkan (det kallas tröghetsmassan för en materialpunkt):

m \vec a = \vec F.

Om massan av en materialpunkt och (som funktion av tiden) kraften som verkar på den är känd, så är dess acceleration också känd från Newtons andra lag: Om kraften är konstant kommer accelerationen också att vara konstant. Hastigheten och koordinaterna för en punkt vid varje tidpunkt kan erhållas genom att integrera accelerationen med hjälp av formlerna från avsnittet om kinematik för en punkt för givna initiala hastigheter och koordinater. $\vec a = \vec F /m.$

Relativistisk mekanik

Inom den relativistiska fysiken skrivs Newtons andra lag i formen

m{\frac {d}{dt}}{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\vec {F }}

vilket gör det svårare att hitta accelerationen än i det klassiska fallet. I synnerhet är långvarig rörelse med konstant acceleration i grunden omöjlig (annars kommer hastigheten för en punkt så småningom att överstiga ljusets hastighet ), och kraftens invarians betyder inte accelerationens invarians: den tenderar att bli noll med ökande hastighet. Icke desto mindre, om beroendet ändå hittas, kan beräkningen utföras med samma formler som i den icke-relativistiska gränsen. ${\vec {a}}(t)$ ${\vec {v}}(t)$ ${\vec r}(t)$

Acceleration i relativitet

I relativitetsteorin kännetecknas rörelsen av en kropp med variabel hastighet längs världslinjen i 4-dimensionell rumtid av ett visst värde, liknande acceleration. Till skillnad från den vanliga (tredimensionella) accelerationsvektorn, är 4 - accelerationsvektorn (kallad 4-acceleration ) a i andraderivatan av 4-vektorn av koordinater x i , inte med avseende på tid, utan med avseende på rymd- tidsintervall τ (eller, motsvarande, , i rätt tid ) längs kroppens världslinje:

a^i = \frac {d^2 x^i}{d\tau^2} = \frac{du^i}{d\tau} .

Vid vilken punkt som helst på världslinjen är 4-vektorn för acceleration alltid ortogonal mot 4-hastigheten :

u_i a^i = 0 \, .

Detta betyder i synnerhet att 4-hastigheter inte ändras i absolut värde, utan bara i riktning: oavsett riktningen i rum-tid, är 4-hastigheten för någon kropp lika i absolut värde med ljusets hastighet. Geometriskt sammanfaller 4-accelerationen med världslinjens krökning och är analog med normal acceleration i klassisk kinematik.

I klassisk mekanik ändras inte accelerationsvärdet när man flyttar från en tröghetsreferensram till en annan, det vill säga accelerationen är oföränderlig under galileiska transformationer . Inom relativistisk mekanik är 4-accelerationen en 4-vektor, det vill säga under Lorentz-transformationer ändras den på samma sätt som rum-tidskoordinaterna.

Den "vanliga" tredimensionella accelerationsvektorn (samma som i de föregående avsnitten, beteckningen ändras för att undvika förväxling med 4-acceleration), definierad som derivatan av den "vanliga" tredimensionella hastigheten med avseende på koordinattid , används också inom ramen för relativistisk kinematik, men invarianten av Lorentz-transformationerna är inte är. I en momentant åtföljande tröghetsreferensram är 4-acceleration Under inverkan av en konstant kraft minskar accelerationen av en punkt med ökande hastighet, men 4-accelerationen förblir oförändrad (detta fall kallas relativistiskt likformigt accelererad rörelse , även om den "vanliga "accelerationen är inte konstant). $\vec{w}$ ${\vec {a}}(t)$ $\vec{v}$ ${\vec {w}}=d{\vec {v}}/dt$ $a=(0, \vec{w}).$ $\vec{w}$

Accelerationsmätningar

Använda enheter

meter per sekund i kvadrat (meter per sekund per sekund), m/s² , SI- härledd enhet ;
centimeter per sekund i kvadrat (centimeter per sekund per sekund), cm/s² , en härledd enhet av CGS- systemet , har också sitt eget namn gal , eller galileo (används främst inom gravimetri );
g (uttalas "samma"), standardaccelerationen för fritt fall på jordens yta, som per definition är 9,80665 m/s² . I tekniska beräkningar som inte kräver högre noggrannhet än 2 % används ofta approximationen g ≈ 10 m/s² .

Omvandlingar mellan olika accelerationsenheter

	m/s 2	fot/s 2	g	cm/s 2
1 m/s² =	ett	3,28084	0,101972	100
1 fot /s² =	0,304800	ett	0,0310810	30,4800
1 g =	9,80665	32,1740	ett	980,665
1 cm/s² =	0,01	0,0328084	0,00101972	ett

Tekniska medel

Apparater för att mäta acceleration kallas accelerometrar . De "upptäcker" inte acceleration direkt, utan mäter kraften i reaktionenstöd som uppstår vid accelererad rörelse. Eftersom liknande dragkrafter uppstår i ett gravitationsfält, kan gravitationen också mätas med hjälp av accelerometrar .

Accelerografer är enheter som mäter och automatiskt registrerar (i form av grafer) värdena för accelerationen av translations- och rotationsrörelse.

Accelerationsvärden i vissa fall

Accelerationsvärden för olika rörelser: [5]

Typ av rörelse	Acceleration, m/s 2
Centripetal acceleration av solsystemet under orbital rörelse i galaxen	2,2⋅10 −10
Centripetal acceleration av jorden under omloppsrörelse runt solen	0,0060
Centripetal acceleration av månen under omloppsrörelse runt jorden	0,0027
passagerarhiss _	0,9–1,6
tunnelbanetåg _	ett
Bil "Zhiguli"	1.5
Kortdistanslöpare	1.5
Cyklist	1.7
Skater	1.9
Motorcykel	3-6
Nödbromsning av bilen	4-6
Usain Bolt , maximal acceleration	8 [6]
Racerbil	8-9
Bromsar vid öppning av fallskärm	30 ( 3g )
Rymdskeppsuppskjutning och retardation	40-60 ( 4-6 g )
jetmanöver _	upp till 100 (upp till 10 g )
Hög efter nedslag	300 ( 30 g )
Förbränningsmotorkolv _	3×10 3
Kula i pipan på ett gevär	2,5×10 5
Mikropartiklar i acceleratorn	(2—50)×10 14
Elektroner mellan katod och anod i ett färg-TV -rör (20 kV , 0,5 m)	≈7×10 15
Elektroner som kolliderar med fosforn i ett färg-TV-rör (20 kV)	≈10 22
Alfa-partiklar i en atomkärna	≈10 27

Notera: här g ≈ 10 m/s 2 .

Begreppet "generaliserad acceleration"

Om dynamiken i ett mekaniskt system inte beskrivs i kartesiska, utan i generaliserade koordinater (till exempel i Hamiltonska eller Lagrangianska formuleringar av mekanik), kan generaliserade accelerationer introduceras - förstagångsderivator av generaliserade hastigheter eller andra tidsderivator av generaliserade koordinater; till exempel, om en vinkel väljs som en av de generaliserade koordinaterna, kommer den generaliserade accelerationen att vara motsvarande vinkelacceleration . Dimensionen av generaliserade accelerationer i det allmänna fallet är inte lika med LT −2 . $q_{i}$ $\ddot{q_i}$ $\dot{q_i}$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Markeev A.P. Teoretisk mekanik. - M. : CheRo, 1999. - S. 59. - 572 sid.
↑ Genomgång av Rivals resultat: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l'École polytechnique. - 1853. - T. 20 . - S. 109-115 . Arkiverad från originalet den 9 mars 2016.
↑ Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l'Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. - 1891. - T. 3 , nr. 9 . - S. 535-539 . Arkiverad från originalet den 8 mars 2016.
↑ För att använda rörelseekvationen i en form som sammanfaller med formen av ekvationen i Newtons andra lag, i förhållande till accelerationer som uppstår i icke-tröghetsreferensramar, även i frånvaro av någon påverkan på kroppen, fiktiv tröghet krafter införs . Låt till exempel en kropp med massa m vara i vila i en tröghetsreferensram på ett avstånd R från axeln. Om vi för referensramen i rotation med en vinkelhastighet ω runt denna axel, så blir systemet icke-trögt, och kroppen kommer att utföra en synlig rotationsrörelse med en linjär hastighet v = ω R i en cirkel runt axeln. För att beskriva det i en roterande referensram är det nödvändigt att införa centripetalacceleration, som formellt kan betraktas som resultatet av verkan av en av tröghetskrafterna - Corioliskraften , lika med modul 2 mv ω och riktad mot axeln , vinkelrätt mot kroppens axel och hastighet; samtidigt kompenseras den till hälften av verkan av en annan tröghetskraft - centrifugalkraft , lika i modul mv ω och riktad från rotationsaxeln.
↑ Koshkin N.I., Shirkevich M.G. Handbok i elementär fysik. - 10:e, korrekt. och ytterligare .. - M . : Nauka , 1988. - S. 61. - 256 sid. — ISBN 5-02-013833-9 .
↑ W. Bolts acceleration kontra tidsdiagram Arkiverad 10 maj 2013 på Wayback Machine - 100 m lopp vid olympiska sommarspelen 2008 i Peking

Länkar

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. - 5:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
David C. Cassidy, Gerald James Holton och F. James Rutherford. förstå fysik . — Birkhauser, 2002. - ISBN 978-0-387-98756-9 .
Pauli W. Relativitetsteorin. - Dover, 1981. - ISBN 978-0-486-64152-2 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk stor kines Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Britannica (online) Treccani
I bibliografiska kataloger	BNF : 11978022j GND : 4144870-4 J9U : 987007292957505171 LCCN : sh85000344

mekanisk rörelse
referenssystem	tröghetsreferensram Icke-inertiell referensram Sammansatt rörelse Relativitetsprincipen
Materialpunkt	Enhetlig rörelse Rätlinjig rörelse Rörelseekvation Rörelseekvationer i en icke-tröghetsreferensram Bana (väg) rör på sig Fart Acceleration ( centripetalacceleration tangentiell acceleration ) rycka
Fysisk kropp	translationell rörelse Plan-parallell rörelse ( Parallell översättning ) Sfärisk rörelse ( Roterande rörelse Cirkulär rörelse Precession nutation )
kontinuum	laminärt flöde turbulent flöde
Relaterade begrepp	Hastighetsplan Tåg dragkraft Sex frihetsgrader