Punktkinematik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 oktober 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

Kinematik av en punkt är en sektion av kinematik som studerar den mekaniska rörelsen av materiella punkter .

Kinematikens huvuduppgift är att beskriva rörelse med hjälp av en matematisk apparat utan att analysera orsakerna till denna rörelse; de betraktas av dynamiken , i synnerhet dynamiken i en punkt .

Eftersom vilken rörelse som helst är ett relativt begrepp och endast har innehåll när man specificerar vilka kroppar objektet i fråga rör sig i förhållande till, studeras rörelsen av ett objekt i kinematik med avseende på någon referensram , inklusive:

referensorgan;
ett system för att mäta en kropps position i rymden ( koordinatsystem );
ett instrument för att mäta tid ( klocka ).

Positionen för en punkt bestäms av radievektorn , som fullständigt beskriver dess position i den valda referensramen. Den mest visuella representationen av radievektorn kan erhållas i det euklidiska koordinatsystemet , eftersom grunden i den är fast och gemensam för vilken position som helst i kroppen. ${\vec {r}}(t)$

Grundläggande begrepp

En materialpunkt är en kropp vars dimensioner kan försummas i jämförelse med de karakteristiska avstånden för ett givet problem. Så, jorden kan betraktas som en materialpunkt (M.P.) när man studerar dess rörelse runt solen, en kula kan betraktas som M.P. när den rör sig i jordens gravitationsfält, men kan inte betraktas som sådan när dess rotationsrörelse i gevärspipan beaktas. Med translationell rörelse kan man i ett antal fall med hjälp av begreppet MT också beskriva en förändring av större objekts position. Så till exempel kan ett lok som passerar en sträcka på 1 meter betraktas som M.T., eftersom dess orientering i förhållande till koordinatsystemet under rörelse är fixerad och inte påverkar formuleringen och förloppet för att lösa problemet.

Radievektor - en vektor som bestämmer positionen för en materialpunkt i rymden:. Här är koordinaterna för radievektorn. Geometriskt representerad av en vektor ritad från origo till en materialpunkt. Beroendet av radievektorn (eller dess koordinater) av tidenkallas rörelselagen . ${\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}}\}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n))$ $r_{i}=r_{i}(t)$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$

Bana - Hodograf av radievektorn, det vill säga - en imaginär linje som beskrivs av slutet av radievektorn i rörelseprocessen. Med andra ord är en bana en linje längs vilken en materiell punkt rör sig. I detta fall fungerar rörelselagen som en ekvation som definierar banan parametriskt. Längden på banasektionen mellan de första och sista ögonblicken av tid kallas ofta tillryggalagd sträcka, längden på banan, eller vulgärt - banan och betecknas med bokstaven. Med en sådan beskrivning av rörelsefungerar den som en generaliserad koordinat , och rörelselagarna i detta fall är skrivna i formenoch liknar motsvarande lagar för koordinater. $S$ $S$ $S=S(t)$

Beskrivning av rörelse med begreppet en bana är ett av nyckelmomenten i klassisk mekanik . Inom kvantmekaniken har rörelse en banafri karaktär, vilket gör att själva begreppet en bana förlorar sin mening.

Grundläggande kinematiska storheter

Förskjutning är en vektorfysikalisk kvantitet lika med skillnaden mellan radievektorerna vid de sista och initiala ögonblicken:

\Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1} )

Med andra ord är förskjutning en ökning av radievektorn över en vald tidsperiod.

Medelhastigheten är en vektorfysisk kvantitet lika med förhållandet mellan förskjutningsvektorn och det tidsintervall under vilket denna rörelse inträffar:

{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}

Den genomsnittliga markhastigheten är en skalär fysisk storhet som är lika med förhållandet mellan förskjutningsvektormodulen och det tidsintervall under vilket denna rörelse inträffar, som regel är det vettigt när man beskriver rörelse med : ${\vec {r}}(t_{2})={\vec {r}}(t_{1})$

{\vec {v}}_{cp\,S}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta |{\vec {r}}|}{\Delta t} }={\frac {|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}{t_{2}-t_{1}}}

Momentan hastighet är en vektorfysisk kvantitet lika med den första derivatan av radievektorn med avseende på tid:

{\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}\equiv {\dot {\vec {r}}}(t)

Karakteriserar rörelsehastigheten för en materialpunkt. Den momentana hastigheten kan definieras som gränsen för medelhastigheten eftersom tidsintervallet på vilket den beräknas tenderar till noll:

{\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\högerpil t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_ {2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}

Enheten för hastighet i SI- systemet är m/s , i CGS- systemet är det cm/s. Den momentana hastigheten är alltid riktad tangentiellt till banan.

Momentan acceleration är en vektorfysisk kvantitet lika med andraderivatan av radievektorn med avseende på tid och följaktligen den första derivatan av den momentana hastigheten med avseende på tid:

{\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r} }(t)}{dt^{2}}}

Karakteriserar hastighetsändringen. Accelerationsenheten i SI-systemet är m/s², i CGS-systemet är det cm/s².

Beskrivning i kartesiska koordinater

Eftersom basvektorerna ( ) i detta koordinatsystem är ortonormala och inte beror på tid, kan rörelselagen skrivas på följande sätt: ${\vec e}_{i}$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t) {\vec {e}}_{z}

Punkthastighet:

{\vec {v}}(t)={\dot {x}}(t){\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}(t){\vec { e}}_{y}+{\dot {z}}(t){\vec {e}}_{z}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_ {y}+{\vec {v}}_{z}

Hastighetsmodulen finns:

v={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}={\frac {ds}{dt}}

, var är banskillnaden .

ds

Acceleration definieras på liknande sätt:

{\vec {a}}(t)={\ddot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}{\vec {e}}_{y }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}

a={\sqrt {{\ddot {x}}^{2}+{\ddot {y}}^{2}+{\ddot {z}}^{2}}}

Andra koordinatsystem

Ganska ofta visar det sig vara bekvämt att inte använda kartesiska, utan andra koordinatsystem.

Polära koordinater

Beskrivningen av rörelsen utförs i ett plan. Punktens position bestäms av avståndet från origo och polvinkeln , mätt från någon fast axel. Som grund introduceras en enhetsvektor , riktad från origo till den rörliga punkten, och en enhetsvektor vinkelrät mot den första i riktning mot ökande vinkel (denna riktning kallas transversal). $r$ $\varphi$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $\varphi$

Sambandet med det kartesiska systemet kan uttryckas på följande sätt: [1] . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}} _{y}\end{pmatrix}}$

Tidsderivator av basvektorer: ${\dot {\vec {e}}}_{r}={\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi},\;{\dot {\vec {e ))_{\varphi }=-{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{r}$

Var finns rörelseekvationerna:

{\vec {r}}(t)=r(t){\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}(t)={\dot {r}}(t){\vec {e}}_{r}+r(t){\dot {\varphi }}(t ){\vec {e}}_{\varphi }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ punkt {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }

Cylindriska koordinater

I ett cylindriskt koordinatsystem förenklas problem med axiell symmetri .

Till grund

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{z}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Rörelseekvationer

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}+z{\vec {e}}_{z}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ punkt {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e} }_{z}

Sfäriska koordinater

Till grund

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{\theta }\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec { e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Rörelseekvationer

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}\sin \theta {\vec {e}} _{\varphi }+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta } }^{2}]{\vec {e}}_{r}+[(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})\sin \ theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta ]{\vec {e}}_{\varphi }+[2{\dot {r}}{\dot { \theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +r{\ddot {\theta }}]{\vec {e}}_{\theta }

Associerad grund

Vid beskrivning i det kommande koordinatsystemet beaktas tre på varandra följande punkter i banan . I gränsen för litenhet ger de två första en tangent till banan, medan alla tre ger en krökningscirkel som ligger i det momentana rörelseplanet (det sammanhängande planet). Grunden väljs enligt följande: ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3))$

{\vec {e}}_{\tau }={\vec {v}}/v

är enhetsvektorn som tangerar banan;

{\vec {e}}_{n}

är en enhetsvektor som ligger i ett sammanhängande plan, vinkelrätt mot vektorn och riktad mot banans konkavitet (längs huvudnormalen);

{\vec {e}}_{\tau }

{\vec {e}}_{\beta }=[{\vec {e}}_{\tau }\times {\vec {e}}_{n}]

(binormal vektor).

Acceleration är alltså , där , och , är den momentana krökningsradien . ${\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {e}}_{n}+a_{\tau }(t){\vec {e}}_{ \tau}$ ${\vec {a}}_{\tau }={\dot {v}}$ ${\vec {a}}_{n}={\frac {v^{2}}{R_{k}}}$ $R_k$

Vid rörelse i en cirkel kallas normal acceleration centripetal . Som framgår av föregående formel, när man rör sig längs en cirkel med konstant hastighet, är den normala accelerationen konstant i absolut värde och riktad mot cirkelns mitt.

Värdet kallas tangentiell acceleration och kännetecknar storleken på förändringen i hastighetsmodulen: $a_{\tau }$

Galileiska transformationer

I fallet med icke-relativistiska hastigheter (hastigheter som är mycket lägre än ljusets hastighet ) utförs övergången från en IFR till en annan med hjälp av galileiska transformationer :

Om IFR rör sig i förhållande till IFR med en konstant hastighet längs axeln , och ursprunget sammanfaller vid den initiala tiden i båda systemen, så har de galileiska transformationerna formen: $S'$ $S$ $u$ $x$

x'=x-ut,

y'=y,

z'=z,

t'=t

I fallet med en godtycklig riktning för koordinataxlarna är vektorrepresentationen av Galileo-transformationerna giltig:

{\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,

t'=t

Om rörelsen sker med en hastighet som är jämförbar med ljusets hastighet, bör Lorentz-transformationer tillämpas .

Exempel på rörelser

Uniform rätlinjig

I det här fallet , varifrån följer rörelselagen . ${\vec {a}}=0$ ${\vec {v}}=const$ ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t$

Uniformt accelererad rätlinjig

När axeln är riktad längs förskjutningslinjen, erhålls lagen om likformigt accelererad rörelse genom att lösa den enklaste differentialekvationen i formen: $x$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a=const

Dubbel integration över tid leder till formeln:

x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {at^{2}}{2}}\;\Leftrightarrow \;x_{0}+v_{0}t+{\ frac {at^{2}}{2}}

;

Här och är godtyckliga konstanter som motsvarar den initiala koordinaten och initialhastigheten. $C_{1}$ $C_{2}$

Om rörelsen är begränsad i tid och sluthastigheten är känd , är beräkningsformeln giltig: $v_{k}$

S={\frac {v_{k}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}

Rörelse med konstant acceleration kallas likformigt accelererad . Vars lag för en godtycklig riktning av axlarna: ${\vec {a}}(t)=const$

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a} }t^{2}}{2}}

;

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

I det här fallet har rörelseekvationerna i koordinatformen en liknande form:

x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}

;

v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t

I det här fallet talar man ofta om likformigt accelererad rörelse , om tecknen och sammanfaller, och om likformigt långsam rörelse , om och har motsatta tecken. I detta fall beror tecknet på var och en av kvantiteterna på det initiala valet av referenssystemet. ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$ ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$

Uniform runt omkretsen

Det är bekvämt att överväga problemet i den medföljande grunden. Accelerationen kommer att ta formen (centripetalacceleration riktad mot cirkelns mitt). Själva rörelsen kan betraktas som en vinkel kring någon axel. För vinkelhastighet : ${\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {e_{n}}}$ $\varphi$ ${\dot {\varphi }}=\omega ={\frac {v}{R}}$

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t

, och . Rörelseperiod: .

a_n = \omega^2 R

T={\frac {2\pi }{\omega }}

En punkt som kastas i en vinkel mot horisonten

För kroppar som rör sig i låga hastigheter kan luftmotståndet försummas. Låt punkten vid tidpunkten noll kastas med en hastighet i vinkel mot horisonten . För en axel riktad vertikalt uppåt, och en axel riktad längs horisonten, är rörelseekvationerna i projektioner på axeln: $\vec v_0$ $\alfa$ $y$ $x$

{\begin{cases}a_{x}=0,\\a_{y}=-g;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}v_{x}=v_ {0}\cos \alpha ,\\v_{y}=v_{0}\sin \alpha -gt;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}x=x_{0} +v_{0}\cos \alpha \cdot t,\\y=y_{0}+v_{0}\sin \alpha \cdot t-{\dfrac {gt^{2}}{2));\ slut{cases}}

var är det fria fallaccelerationen .

g

När i synnerhet följande formler erhålls:

Om punkten kastades från marken kommer tiden för rörelse att vara , och punkten kommer att nå toppen av banan i . $t={\frac {2v_{0}\sin \alpha }{g}}$ $t/2$

Flyglängden i detta fall , varav det följer att det maximala flygräckvidden vid konstant hastighet uppnås vid . I generalisering att kasta längs ett lutande plan , uppnås det maximala flygavståndet när man kastar längs bisektrisen mellan den vertikala och den raka linjen längs kastplanet. $L={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g))$ $\alpha =45^{\circ }$

Generellt sett kan en kropp anlända till samma punkt längs två banor: platt och gångjärn .

Ekvationen för banan i den betraktade notationen är: , det vill säga projektilen rör sig längs en parabel . $y=x\mathrm {tg} \,\alpha -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}x^{2}$

Poängsystemfall

För att beskriva en materiell punkts rörelse krävs det att man ställer in tre generaliserade koordinater, som generellt sett beror på referenssystemet, men deras antal förblir oförändrat. Annars kan vi säga att antalet frihetsgrader för en punkt är tre. Däremot kan antalet grader vara mindre om till exempel en punkt bara kan röra sig längs en viss yta eller kurva . I det här fallet säger de att en kinematisk begränsning påläggs materialpunkten . Antalet frihetsgrader från varje bindning minskas med en. I det allmänna fallet, om systemet består av materialpunkter och kinematiska begränsningar åläggs dem , då är antalet frihetsgrader för ett sådant system av materialpunkter .

n

k

3n-k

Om i ett system avstånden mellan två punkter alltid är konstanta, så kallas ett sådant system för en absolut stel kropp (se Kinematics of a rigid body ). Beskrivningen av makroskopiska system av materialpunkter med varierande avstånd behandlas av kinematiken hos ett kontinuerligt medium .

Anteckningar

↑ Matrismultiplikation

Litteratur

Strelkov S.P. Mekanik. Moskva: Nauka, 1975.
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. — 520 s.
Matveev A. N. Mekanik och relativitetsteorin. Moskva: Högre skola, 1986.
Khaikin S. E. Fysiska grunder för mekanik. Moskva: Nauka, 1971.