Bana

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 mars 2019; kontroller kräver 12 redigeringar .

Banan för en materialpunkt är en linje i rymden , som är en uppsättning geometriska punkter där man kan hitta en materialpunkt i ett fysiskt problem [1] . Typen av bana för en fri materiell punkt beror på krafterna som verkar på punkten , de initiala rörelseförhållandena och på valet av referenssystem , och den icke-fria beror också på de pålagda begränsningarna [2] .

Konceptet med en bana är vettigt även isolerat från någon verklig rörelse. Men den bana som avbildas i ett visst koordinatsystem ger inte i sig information om orsakerna till kroppens rörelse längs den, förrän analysen av konfigurationen av kraftfältet som verkar på kroppen i samma koordinatsystem utförs [ 3] .

Sätt att sätta en bana

Typen av banan beror inte på egenskaperna hos dess passage genom en materiell punkt, därför inte fysiska lagar eller modeller, men medel för differentialgeometri kan användas för att ställa in banan .

Så, banan ges ibland av en funktion/funktioner, som länkar koordinaterna på punktens rörelselinje:

{\displaystyle x=x_{min}\ldots x_{max))

när du rör dig i en rak linje,

y=y(x)

för det platta fallet,

y=y(x)

och i bulkfallet.

z=z(x)

Men här är den ömsesidiga unikheten i anslutningen av koordinater och frånvaron av upprepad passage av den materiella punkten i alla sektioner nödvändiga. Till exempel, om kroppen rörde sig längs ett segment från till och tillbaka, är banan en "dubbel" (fram och tillbaka) linje, som kommer att missas i ovanstående tillvägagångssätt. Ändå är en sådan koordinattilldelning av banan lämplig i många enkla situationer. $x_{min}$ $x_{max}$

I det allmänna fallet beskrivs rörelsen av en materialpunkt i kinematik av radievektorns beroende av tiden :

{\vec {r}}={\vec {r}}(t)

Ett sådant beroende representerar en bana, vilket ger ett överskott av information - förutom formen på en geometrisk linje ritad av en punkt, med , kan du få hastigheten och andra parametrar för rörelse. Uppgiften innebär uppgiften att ändra tre kartesiska koordinater i tiden: ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r}}(t)$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}

var , , är orterna för . Närvaron av tid här , verkar det som, motsäger banans oberoende från detaljerna i rörelse längs den, men i själva verket, för att sätta banan på plats i uttrycken , , kan du ersätta vilken en-till-en-funktion som helst . Godtyckligheten kommer inte att påverka formen på banan, men kommer att "ändra" passagehastigheten: till exempel, när den ersätts av hastighet, kommer den att fördubblas på alla punkter i banan. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $t$ $t$ $x(t)$ $y(t)$ $z(t)$ $T(t)$ $t$ $T=2t$

I det valda referenssystemet kan kurvan som beskrivs av slutet av radievektorn i rymden representeras som konjugerade bågar med olika krökning , belägna i det allmänna fallet i skärande plan . I det här fallet bestäms krökningen för varje båge av dess krökningsradie (ej att förväxla med radievektorn ), riktad till bågen från den momentana rotationscentrum (inte att förväxla med radievektorernas ursprung) , belägen i samma plan som själva bågen. En rät linje anses vara gränsfallet för en kurva , vars krökningsradie kan anses vara lika med oändligheten . ${\vec {r))$

Bana och relaterade begrepp

Rörelselagen är beroendet av en punkts radievektor på tiden ; ${\vec {r}}(t)$
Bana - en krökt koordinat längs banan för en materialpunkt (vanligtvis betecknad med symbolen ); $S$
Banlängd - längden på banan , beräknad som

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt

, där siffrorna 1 och 2 markerar punktens initiala respektive slutliga position;

Förskjutning - en vektor från punktens initiala position till den sista

\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})

, medan alltid ;

\Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|

Krökningsradien är den radie av cirkelbågen som bäst approximerar banan vid en given punkt.

Hastigheten för en materialpunkt är alltid riktad tangentiellt mot den båge som används för att beskriva banan. I det här fallet finns det ett samband mellan storleken på hastigheten , normal acceleration och krökningsradien för banan vid en viss geometrisk punkt: $v$ $en$ $R$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

Inte varje rörelse med en känd hastighet längs en kurva med en känd radie och den normala (centripetal) accelerationen som hittas med ovanstående formel är associerad med manifestationen av en kraft riktad längs normalen till banan ( centripetalkraft ). Således indikerar accelerationen av någon av stjärnorna som hittats från fotografier av armaturernas dagliga rörelse inte alls existensen av en kraft som orsakar denna acceleration och attraherar den till Polarstjärnan som rotationscentrum.

Bana och ekvationer för dynamik

Representationen av en bana som ett spår efter rörelsen av en materiell punkt förbinder det rent kinematiska konceptet av en bana, som ett geometriskt problem, med dynamiken i rörelsen av en materiell punkt, det vill säga problemet med att fastställa orsakerna av dess rörelse. Faktum är att lösningen av Newtons ekvationer (i närvaro av en komplett uppsättning initiala data) ger banan för en materiell punkt.

Förflyttning av en fri materialpunkt

Enligt Newtons första lag , ibland kallad tröghetslagen , måste det finnas ett sådant system där en fri kropp behåller (som vektor) sin hastighet. En sådan referensram kallas tröghet . Banan för en sådan rörelse är en rak linje , och själva rörelsen kallas enhetlig och rätlinjig.

Rörelse under inverkan av yttre krafter

i tröghetsreferensramen

Om i en tröghetsram hastigheten för ett föremål ( för en observatör som är stationär i denna ram ) med en massa ändras i riktning, till och med förblir densamma i storlek, det vill säga kroppen gör en sväng och rör sig längs en båge med en radie på krökning , då upplever denna kropp normal acceleration . Orsaken till denna acceleration är centripetalkraften, som är direkt proportionell mot denna acceleration. Detta är kärnan i Newtons andra lag : $\vec{v}$ $m$ $R$ $en$

{\vec F}=m{\vec a}_{n}

var är vektorsumman av de krafter som verkar på kroppen, är dess acceleration och är tröghetsmassan [4] . ${\vec F}$ ${\vec a}_{n}$ $m$

I det allmänna fallet är kroppen inte fri i sin rörelse, och restriktioner införs på dess position, och i vissa fall på hastighet , - begränsningar . Om länkarna ålägger begränsningar endast på kroppens koordinater, kallas sådana länkar geometriska. Om de också fortplantar sig i hastigheter, så kallas de kinematisk. Om begränsningsekvationen kan integreras över tid, kallas en sådan begränsning holonomisk .

Effekten av bindningar på ett system av rörliga kroppar beskrivs av krafter som kallas reaktioner av bindningar. I detta fall är kraften som ingår i den vänstra sidan av uttrycket av Newtons lag vektorsumman av de aktiva (externa) krafterna och reaktionen av bindningarna.

Det är väsentligt att det i fallet med holonomiska begränsningar blir möjligt att beskriva rörelsen hos mekaniska system i generaliserade koordinater , inkluderade i Lagrangekvationerna . Antalet av dessa ekvationer beror endast på antalet frihetsgrader i systemet och beror inte på antalet kroppar som ingår i systemet, vars position måste bestämmas för en fullständig beskrivning av rörelsen.

Om bindningarna som verkar i systemet är idealiska , det vill säga de överför inte rörelseenergin till andra typer av energi, så exkluderas alla okända reaktioner av bindningarna automatiskt när man löser Lagrange-ekvationerna.

Slutligen, om de verkande krafterna tillhör klassen potentiella krafter , blir det med en lämplig generalisering av begreppen möjligt att använda Lagrange-ekvationerna inte bara inom mekaniken utan också inom andra fysikområden. [5]

De krafter som verkar på en materiell punkt i denna förståelse bestämmer unikt formen på banan för dess rörelse (under kända initiala förhållanden). Det omvända påståendet är generellt orättvist, eftersom samma bana kan ske med olika kombinationer av aktiva krafter och kopplingsreaktioner.

i en icke-inertiell referensram

Om referensramen är icke-tröghetsram (det vill säga den rör sig med viss acceleration i förhållande till tröghetsreferensramen), så är det också möjligt att använda Newtons lag i den, men på vänster sida är det nödvändigt att ta ta hänsyn till de så kallade tröghetskrafterna (inklusive centrifugalkraft och Corioliskraft associerad med rotations icke-tröghetsreferensram) [4] .

Betydelsen av valet av referensram

Klargörandet om "bindningen" av banan till valet av koordinatsystemet är grundläggande, eftersom formen på banan beror på detta val [6] . Kvalitativa och kvantitativa skillnader i banor uppstår också mellan tröghetssystem, och om ett eller båda systemen är icke-tröga.

Banans observerbarhet

Det är möjligt att observera banan när objektet är stillastående, men när referensramen rör sig. Därmed kan stjärnhimlen fungera som en bra modell för en tröghet och fast referensram. Men under långa exponeringar verkar dessa stjärnor röra sig i cirkulära banor.

Det motsatta fallet är också möjligt, när kroppen tydligt rör sig, men banan i projektionen på observationsplanet är en fast punkt. Detta är till exempel fallet med en kula som flyger direkt in i observatörens öga eller ett tåg som lämnar honom.

Ändring av formen på banan

Det visar sig ofta att banans form beror på det referenssystem som valts för att beskriva en materiell punkts rörelse på ett radikalt sätt. Således kommer rätlinjig likformigt accelererad rörelse (säg fritt fall) i en tröghetsram i allmänhet att vara parabolisk i en annan likformigt rörlig tröghetsreferensram (se fig.).

I enlighet med Galileos relativitetsprincip finns det ett oändligt antal lika tröghetssystem (ISOs), vars rörelse i förhållande till den andra inte kan fastställas på något sätt genom att observera några processer och fenomen som bara förekommer i dessa system. Den raka banan för den enhetliga rörelsen av ett föremål i en ram kommer också att se ut som en rät linje i vilken annan tröghetsram som helst, även om storleken och riktningen för hastigheten beror på valet av systemet, det vill säga på storleken och riktningen för deras relativa hastighet.

Galileo-principen säger dock inte att samma fenomen som observerats från två olika ISO:er kommer att se likadana ut. Därför varnar figuren för två typiska misstag förknippade med att glömma att:

1. Det är sant att vilken vektor som helst (inklusive kraftvektorn) kan dekomponeras i minst två komponenter. Men denna nedbrytning är helt godtycklig och betyder inte att sådana komponenter faktiskt existerar. För att bekräfta deras verklighet bör ytterligare information involveras , i alla fall inte hämtad från analysen av banans form. Till exempel, från figur 2 är det omöjligt att bestämma karaktären av kraften F, precis som det är omöjligt att hävda att den själv är eller inte är summan av krafter av olika karaktär. Det kan bara hävdas att det är konstant i det avbildade avsnittet, och att kurvlinjäriteten för den bana som observeras i den givna FR bildas av den centripetala delen av denna kraft, helt definierad i den givna FR. Genom att bara känna till banan för en materiell punkt i någon tröghetsreferensram och dess hastighet vid varje tidpunkt, är det omöjligt att bestämma karaktären av de krafter som verkar på den.

2. Även vid observation från IFR kommer formen på banan för en accelererad rörlig kropp att bestämmas inte bara av de krafter som verkar på den, utan också av valet av denna IFR, som inte påverkar dessa krafter i hur som helst. Centripetalkraften som visas i figur 2 erhålls formellt och dess värde beror direkt på valet av ISO.

Ett exempel på ett roterande system

Föreställ dig en teaterarbetare som jämnt och rätlinjigt rör sig i gallerutrymmet ovanför scenen i förhållande till teaterbyggnaden och bär en läckande hink med färg över den roterande scenen. Det kommer att lämna ett spår av fallande färg på den i form av en avrullningsspiral (om den rör sig från scenens rotationscentrum) och vridning - i motsatt fall. Vid denna tidpunkt kommer hans kollega, som är ansvarig för städningen av den roterande scenen och är på den, därför att tvingas bära en icke läckande hink under den första, ständigt under den första. Och dess rörelse i förhållande till byggnaden kommer också att vara enhetlig och rätlinjig , även om den i förhållande till scenen, som är ett icke-tröghetssystem , kommer att vara böjd och ojämn . Dessutom, för att motverka drift i rotationsriktningen, måste han kraftfullt övervinna effekten av Corioliskraften , som hans övre motsvarighet inte upplever ovanför scenen, även om banorna för båda i teaterbyggnadens tröghetssystem kommer att representera raka linjer .

Men man kan tänka sig att de här betraktade kollegornas uppgift är just att dra en rak linje på en roterande scen . I det här fallet bör botten kräva att toppen rör sig längs en kurva som är en spegelbild av spåret från den tidigare utspillda färgen, samtidigt som den förblir ovanför någon punkt på en rak linje som passerar i den valda radiella riktningen. Därför kommer rätlinjig rörelse i en icke-tröghetsreferensram inte att vara sådan för en observatör i en tröghetsram .

Dessutom kan den enhetliga rörelsen hos en kropp i ett system vara ojämn i ett annat. Således kommer två droppar färg som har fallit vid olika tidpunkter från en läckande hink, både i sin egen referensram och i ramen för den nedre kollegan orörlig i förhållande till byggnaden (på scenen som redan har slutat rotera), rör sig i en rak linje (mot jordens mitt). Skillnaden kommer att vara att för den nedre observatören kommer denna rörelse att accelereras , och för hans övre kollega, om han snubblar och faller , rör sig tillsammans med någon av dropparna, kommer avståndet mellan dropparna att öka i proportion till tidens första makt , det vill säga ömsesidiga rörelsedroppar och deras observatör i hans accelererade koordinatsystem kommer att vara enhetliga med en hastighet som bestäms av fördröjningen mellan ögonblicken för fallande droppar; var är det fria fallaccelerationen . $v=g\Delta t$ $\Delta t$ $g$

Därför ger formen på banan och kroppens hastighet längs den, betraktad i en viss referensram, om vilken ingenting är känt i förväg , inte en entydig uppfattning om krafterna som verkar på kroppen. Det är möjligt att avgöra om detta system är tillräckligt trögt endast på basis av en analys av orsakerna till förekomsten av verkande krafter.

I ett icke-tröghetssystem är alltså för det första banans krökning och/eller inkonsekvensen av hastigheten ett otillräckligt argument till förmån för påståendet att yttre krafter verkar på en kropp som rör sig längs den, vilket i det sista fallet kan förklaras av gravitationella eller elektromagnetiska fält, och för det andra är banans rakhet ett otillräckligt argument till förmån för påståendet att inga krafter verkar på en kropp som rör sig längs den.

Traktorlös rörelse

Enligt kvantmekaniska begrepp, i förhållande till rörelsen av en mikropartikel (elektron eller annan) i ett begränsat utrymme, bör man inte tala om en bana , utan om utvecklingen av sannolikhetstätheten för att upptäcka en partikel vid en given punkt . Denna sannolikhetstäthet kännetecknas [7] av kvadraten på modulen för vågfunktionen . Beroendet av dess argument bestäms med hjälp av Schrödinger-ekvationen . Med en vågfunktion kan du hitta positionen för "tyngdpunkten" som förändras över tiden (integration - över hela volymen tillgänglig för partikeln). I gränsen när de Broglie-våglängden för partikeln är ojämförligt mindre än storleken på det rumsliga rörelseområdet, blir detta tillvägagångssätt ekvivalent med den vanliga beräkningen av banan. ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r))$ $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ $\psi$ $<{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV$

Se även

Sammansatt rörelse

Anteckningar

↑ Konceptet med en bana kan ganska tydligt illustreras av en bobslädebana (om dess bredd kan försummas, enligt problemets förhållanden). Och det är banan och inte bönan i sig .
↑ Physical Encyclopedic Dictionary, artikel Trajectory , s. 764 / kap. ed. A. M. Prokhorov - M .: Soviet Encyclopedia (1984).
↑ Så gatan, i början av vilken "tegelsten"-skylten hänger, kommer i princip att förbli rörelsebanan längs den. Och tåg med olika massor, som rör sig under olika dragkrafter på kopplingskrokar på lokomotiv och därför med olika hastigheter, kommer att röra sig längs samma bana, bestämt av formen på järnvägsspåret, vilket ålägger specifika anslutningar på rörelsen av en icke-fri kropp (tåg) , vars intensitet kommer att vara i varje fall av olika
↑ 1 2 S. E. Khaikin . Tröghetskrafter och tyngdlöshet. M., 1967. Science Publishing House. Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur.
↑ Fysisk encyklopedisk ordbok / kap. ed. A. M. Prokhorov. Red.col. D.M. Alekseev, A.M. Bonch-Bruevich, A.S. Borovik-Romanov et al . sida 282.
↑ Så, månen kretsar runt jorden endast i en referensram som är associerad med deras gemensamma tyngdpunkt (belägen inuti jordklotet). I referensramen, vars början är solen, kretsar månen runt den i samma elliptiska bana som jorden, men med periodiska avvikelser från den med avståndet från månen till jorden. Det finns helt enkelt ingen ömsesidig cirkulation av dessa himlakroppar i detta fall. Förekomsten av gravitation för att förklara formen på månens bana i koordinatsystemet associerat med solen är inte alls nödvändigt. Så, om jorden försvann, skulle månen kunna fortsätta att röra sig, som en oberoende himlakropp, längs samma gamla bana, och dess periodiska störningar kan sedan, som en hypotes, förklaras av en förändring i tyngdkraften, säg, på grund av en variation i solens massa på grund av dess pulserande ljusstyrka (som för övrigt faktiskt observeras inom vissa gränser). Och båda de nämnda formerna av banan är sanna, och båda förklaringarna av deras form på grundval av en korrekt genomförd analys av de verkande krafterna är rättvisa. Men de utesluter varandra, precis som möjligheten till samtidig övervägande är utesluten vid val av ett eller annat koordinatsystem.
↑ D. V. Galtsov. vågfunktion . BDT (2004). Hämtad: 10 augusti 2022. (obestämd)

Inom fysiken finns det en annan formel för att mäta banan (vägen): s=4Atv, där A är amplituden, t är tiden, v är oscillationsfrekvensen

Litteratur

Newton I. Naturfilosofins matematiska principer. Per. och ca. A. N. Krylova. Moskva: Nauka, 1989
Frish S. A. och Timoreva A. V. Kurs i allmän fysik, lärobok för fysik, matematik och fysik och teknikavdelningar vid statliga universitet, volym I. M .: GITTL, 1957

Länkar

Bana och förskjutningsvektor, ett avsnitt av en fysiklärobok

mekanisk rörelse
referenssystem	tröghetsreferensram Icke-inertiell referensram Sammansatt rörelse Relativitetsprincipen
Materialpunkt	Enhetlig rörelse Rätlinjig rörelse Rörelseekvation Rörelseekvationer i en icke-tröghetsreferensram Bana (väg) rör på sig Fart Acceleration ( centripetalacceleration tangentiell acceleration ) rycka
Fysisk kropp	translationell rörelse Plan-parallell rörelse ( Parallell översättning ) Sfärisk rörelse ( Roterande rörelse Cirkulär rörelse Precession nutation )
kontinuum	laminärt flöde turbulent flöde
Relaterade begrepp	Hastighetsplan Tåg dragkraft Sex frihetsgrader