Rörelseekvationen i en icke-tröghetsreferensram

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 januari 2020; kontroller kräver 12 redigeringar .

Rörelseekvationerna i en icke-tröghetsreferensram är rörelseekvationerna för en materialpunkt (1) inom området konservativa krafter i klassisk mekanik , skrivna i en icke-tröghetsreferensram (NFR) som rör sig i förhållande till en tröghetsram (ISR) med en hastighet av translationsrörelse och en vinkelhastighet för rotationsrörelse . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

I ISO har Lagrange rörelseekvationen formen [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

i NSO får ekvationen ytterligare fyra termer (de så kallade " euleriska tröghetskrafterna ") [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(ett)

var:

fet stil indikerar vektorkvantiteter, hakparenteser - vektormultiplikation ;
indexet hänvisar till värden i ISO; $_{0}$
$t$ - tid;
$m$ är spetsens massa;
$\mathbf{v}$ är punkthastighetsvektorn;
$\mathbf {r}$ är radievektorn för punkten;
$U$ - potentiell energi .

Härledning av formeln

Vilken rörelse som helst kan delas upp i en sammansättning av translationella och roterande rörelser [4] . Därför kan övergången från IFR K 0 till NSO K betraktas i form av två på varandra följande steg: för det första, övergången från K 0 till den mellanliggande referensramen K' , som rör sig framåt med avseende på K 0 med en hastighet , och sedan till K , som roterar i förhållande till K' med vinkelhastighet . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

Principen om minsta handling beror inte på koordinatsystemet, tillsammans med det är Lagrangekvationerna också tillämpliga i vilket koordinatsystem som helst.

Lagrangian i K' ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

erhålls genom att ersätta translationstransformationen av partikelhastigheten till Lagrangian skriven i ISO [5] : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Uttrycken för både IFR och NFR beskriver utvecklingen av en partikel i motsvarande referensramar - lagen om energibevarande .

Som bekant kan termer som är totaltidsderivator av vissa funktioner uteslutas från Lagrangian, eftersom de inte påverkar rörelseekvationerna (se Lagrangemekaniken ). I formel (2) är en funktion av tiden, och därmed den totala derivatan av en annan funktion av tiden, kan motsvarande term utelämnas. Sedan , $\mathbf {V} ^{2}$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt))( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

där den totala tidsderivatan återigen kan utelämnas. Som ett resultat förvandlas Lagrangian (2) till $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

Vid förflyttning från K' till K (ren rotation) ändras hastigheten med . När du substituerar in i ekvation (3), bildas Lagrangian i K (med hänsyn till att ): $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Den totala skillnaden för denna Lagrangian ser ut som:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

Genom att tillämpa Lagrange-formeln och ändra ordningen för operationer i den blandade produkten av vektorer kan den Lagrange-differential skrivas om som:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

De partiella derivaten av Lagrangian med avseende på respektive kommer att vara: $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} ))

Efter att ha ersatt de partiella derivatorna i standardrörelseekvationen i Euler-Lagrange-formen

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

formel (1) erhålls.

Fysisk betydelse

Vektorekvation (1) beskriver rörelsen av en materialpunkt i en icke-tröghetsreferensram (NRS), som rör sig i förhållande till en tröghetsram (ISR) med en translationshastighet och en vinkelhastighet för rotationsrörelse . I det här fallet ersätts den yttre kraften som appliceras på kroppen, som ger translationsrörelse, med ett potentiellt fält där konservativa krafter verkar . [6]

Samtidigt kallas NFR:s rörelse i förhållande till IFR:n bärbar, vilket gör att hastigheterna, accelerationerna och krafterna som är förknippade med NFR också kallas bärbara. [7] [8]

Uttrycket är den resulterande vektorn av summan av krafterna på höger sida av ekvation (1) [9] . $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))$

Den partiella derivatan av en partikels potentiella energi i ett yttre fält längs radievektorn för krafternas "användningspunkt" bestämmer summan av alla krafter som verkar från externa källor [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Uttrycket för den bärbara kraften som verkar i ett enhetligt kraftfält, som i sin tur orsakas av systemets accelererade translationella rörelse, har formen

m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))

var är accelerationen av referenssystemets translationella rörelse [9] . ${\frac {d\mathbf {V} }{dt))$ $K'$

"Tröghetskrafterna" i ekvation (1), på grund av rotationen av referensramen, är sammansatta av tre delar.

Den första delen är en bärbar kraft associerad med referensramens ojämna rotation [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]

Den andra delen

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]

är ett uttryck för Corioliskraften . Till skillnad från nästan alla icke- dissipativa krafter som betraktas i klassisk mekanik , beror dess värde på partikelns hastighet [9] .

Den tredje delen representeras av en bärbar centrifugalkraft

m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]

Den ligger i ett plan som går genom och , och är riktad vinkelrätt mot rotationsaxeln för HCO (det vill säga riktningen ), bort från axeln. Storleken på centrifugalkraften är , där är avståndet från partikeln till rotationsaxeln. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega }$ $\mathbf {\Omega }$ ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2))$ $\rho$

Anteckningar

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , sid. 163.
↑ Derivatan av en skalär kvantitet med avseende på en vektor här och nedan förstås som en vektor vars komponenter är derivator av denna skalära kvantitet med avseende på motsvarande komponenter i vektorn.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , sid. 165.
↑ Arnold, 1979 , sid. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , sid. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Rörelse av en stel kropp. //T. I. Mekanik. Teoretisk fysik. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 sid. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - 20.- Moskva "Higher School", 2010, - S. 156 - 416 s. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Tröghetskrafter i den allmänna kursen i fysik.—"Physical education in universities", v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (tryck), 1607-2340 (online).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Rörelse av en stel kropp. //T. I. Mekanik. Teoretisk fysik. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 sid. — ISBN 5-9221-0055-6.

Litteratur

L. D. Landau, E. M. Lifshits. § 39. Rörelse i en icke-tröghetsram // Teoretisk fysik . - M . : Nauka, 1988. - T. I. Mechanics. - S. 163-167. — 216 sid. — ISBN 5-02-013850-9 . (ryska)
V. I. Arnold. § 26. Rörelse i ett rörligt koordinatsystem // Klassisk mekaniks matematiska metoder . - M . : Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 sid. (ryska)

mekanisk rörelse
referenssystem	tröghetsreferensram Icke-inertiell referensram Sammansatt rörelse Relativitetsprincipen
Materialpunkt	Enhetlig rörelse Rätlinjig rörelse Rörelseekvation Rörelseekvationer i en icke-tröghetsreferensram Bana (väg) rör på sig Fart Acceleration ( centripetalacceleration tangentiell acceleration ) rycka
Fysisk kropp	translationell rörelse Plan-parallell rörelse ( Parallell översättning ) Sfärisk rörelse ( Roterande rörelse Cirkulär rörelse Precession nutation )
kontinuum	laminärt flöde turbulent flöde
Relaterade begrepp	Hastighetsplan Tåg dragkraft Sex frihetsgrader