Differential (matematik)

Differential (från latin differentia "skillnad, skillnad") är den linjära delen av ökningen av en funktion .

Notation

Vanligtvis är differentialen för en funktion betecknad med . Vissa författare föredrar att använda roman för att betona att differentialen är en operator . $f$ $df$ ${{\rm {d}}}f$

Skillnaden vid en punkt betecknas med , och ibland med eller , samt med , om innebörden framgår av sammanhanget. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

Följaktligen kan värdet av differentialen vid punkten från betecknas som , och ibland eller , och även , om innebörden är tydlig från sammanhanget. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Användning av differentialtecknet

Differensens tecken används i uttrycket för integralen . I det här fallet, ibland (och inte helt korrekt) introduceras differentialen som en del av definitionen av integralen $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
Också tecknet för differentialen används i Leibniz- notationen för derivatan . Denna notation motiveras av det faktum att för skillnaderna mellan en funktion och den identiska funktionen är förhållandet sant: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $f$ $x$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definitioner

För funktioner

Differentialen för en funktion i en punkt kan definieras som en linjär funktion $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

där anger derivatan vid punkten och är ökningen av argumentet när det går från till . $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Det finns alltså en funktion av två argument . $df$ $df\kolon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

Differentialen kan definieras direkt, det vill säga utan att involvera definitionen av en derivata, som en funktion som beror linjärt på , och för vilken följande relation är sann $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

För skärmar

Differentialen för en mappning vid en punkt är en linjär mappning så att villkoret $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Relaterade definitioner

En mappning kallas differentierbar vid en punkt om differentialen är definierad . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

Egenskaper

Matrisen för en linjär operator är lika med den jakobiska matrisen ; dess element är partiella derivator . $d_{{x_{0}}}f$ $f$
- Observera att Jacobi-matrisen kan definieras vid en punkt där differentialen inte är definierad.
En funktions differential är relaterad till dess gradient genom följande konstitutiva relation $f$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Historik

Termen "differentiell" introducerades av Leibniz . Det användes ursprungligen för att beteckna " infinitesimal " - en kvantitet som är mindre än någon ändlig kvantitet och ändå inte är lika med noll. Denna uppfattning har visat sig vara obekväm i de flesta grenar av matematik, med undantag för icke-standardiserad analys . $dx$

Variationer och generaliseringar

Begreppet en differential innehåller mer än bara en differential av en funktion eller avbildning. Det kan generaliseras för att ge olika viktiga enheter inom funktionsanalys , differentialgeometri, måttteori, icke-standardiserad analys, algebraisk geometri och så vidare.

Litteratur

G. M. Fikhtengolts "Kurs för differential- och integralkalkyl"

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk runt världen Litet Brockhaus och Efron Treccani

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen

Kalkyl för infinitesimals och infinitesimals
Berättelse	Leibniz notation Integral tecken Metod för odelbara
Relaterade destinationer	Anpassad analys
Formalismer	Differentiell
Begrepp	Standarddel av ett nummer Övergångsprincip Hyperinteger Inkrementsats Monad Intern uppsättning Field of Levi-Civita Hyperfinite set Kontinuitetens lag overflow Mikrokontinuitet Transcendent homogenitetslag
Forskare	Arkimedes Leibniz Robinson Odla Cauchy Euler
Litteratur	Analys av infinitesimals Elementära beräkningar Analyskurs

Avledningar av den latinska bokstaven D, d
Brev	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ e̥ ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Symboler	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟