Cirkulär rörelse

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 november 2016; kontroller kräver 4 redigeringar . För olika korsningar: se rondellen .

Inom fysiken är cirkulär rörelse rotationsrörelsen av en materiell punkt eller kropp , när rotationsaxeln i den valda referensramen är stationär och inte passerar genom kroppens mitt. I detta fall är banan för en punkt eller kropp en cirkel , en cirkulär bana . Det kan vara enhetligt (med konstant vinkelhastighet) eller ojämnt (med variabel vinkelhastighet ). Rotationen av en tredimensionell kropp runt en fast axel inkluderar en cirkulär rörelse av var och en av dess delar. Vi kan bara prata om ett objekts cirkulära rörelse om vi kan försumma dess dimensioner, så vi har rörelsen av en massiv punkt på ett plan. Till exempel kan en kropps masscentrum göra en cirkulär rörelse.

Exempel på cirkulär rörelse: konstgjord satellit i geosynkron bana , en sten på ett rep som roterar i en cirkel (se hammarkast ), en bil som gör en sväng, en elektron som rör sig vinkelrätt mot ett konstant magnetfält , ett kugghjul som roterar inuti en mekanism.

Den cirkulära rörelsen accelereras, även om den sker med en konstant vinkelhastighet, eftersom objektets hastighetsvektor hela tiden ändrar riktning. Denna förändring i hastighetsriktning gör att det rörliga föremålet accelereras av centripetalkraften , som trycker det rörliga föremålet mot mitten av den cirkulära banan. Utan denna acceleration kommer objektet att röra sig i en rak linje enligt Newtons lagar .

Formler för enhetlig cirkulär rörelse

För rörelse i en cirkel med radien R blir omkretsen C = 2π R . Om rotationsperioden är T , kommer rotationsvinkelhastigheten ω att vara lika med:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}\ .$

Objektets hastighet är

$v\,={\frac {2\pi R}{T}}=\omega R$

Rotationsvinkeln θ i tiden t är:

$\theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t$

Accelerationen som orsakas av en förändring i hastighetens riktning kan hittas genom att notera att hastigheten gör en fullständig riktningsändring på samma tid T som föremålet tar för att göra ett varv. Då färdas hastighetsvektorn en bana med längden 2π v varje T sekund, eller:

$a\,={\frac {2\pi v}{T}}=\omega ^{2}\ R\ ,$

och riktad radiellt mot mitten .

Vektorsamband visas i fig. 1. Rotationsaxeln representeras av vektorn Ω , vinkelrät mot banans plan och har värdet ω = d θ / dt . Riktningen på vektorn Ω väljs enligt högerhandsregeln . Enligt denna konvention är hastigheten en vektorprodukt av formen:

{\mathbf {v}}={\boldsymbol \Omega }\ gånger {\mathbf r}\ ,

och är en vektor vinkelrät mot både Ω och r ( t ), tangentiell mot omloppsbanan och med storleken ω R . På liknande sätt definieras acceleration som:

{\mathbf {a}}={\boldsymbol \Omega }\ gånger {\mathbf v}\ ,

Det är en vektor vinkelrät mot både Ω och v ( t ), med storleken ω | v | = ω 2 R och riktningen är strikt motsatt till r ( t ).

Konstant hastighet

I det enklaste fallet är hastighet, massa och radie konstanta.

Betrakta en kropp med massa ett kilogram som rör sig i en cirkel med radien en meter med en vinkelhastighet på en radian per sekund .

Hastighet : en meter per sekund;
Radiell acceleration : en meter per sekund per sekund;
Acceleration rapporteras av en centripetalkraft på ett kilogram per meter per sekund per sekund, det vill säga en newton ;
Kroppsmomentum : en ${\displaystyle kg\cdot m\cdot s^{-1))$
tröghetsmoment : ett $kg\cdot m^{2}$
Vinkelmoment : ett ${\displaystyle kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1))$
Kinetisk energi : joule ; $1/2$
Banomkrets : meter ; $2\pi ~(\sim 6.283)$
Rörelseperiod : sekunder per varv ; $2\pi$
Frekvens : hertz ; $(2\pi )^{-1}$
Ur kvantmekanikens synvinkel är systemet i ett exciterat tillstånd med ett kvantnummer $\sim 9.48\cdot 10^{35}$

Betrakta nu en massakropp som rör sig i en cirkel med radie med en vinkelhastighet $m$ $r$ $w$ $;$

Fart: $v=r\cdot w$
Radiell acceleration: ${\displaystyle a=r\cdot w^{2}=r^{-1}\cdot v^{2))$
Centripetal kraft: ${\displaystyle F=m\cdot a=r\cdot m\cdot w^{2}=r^{-1}\cdot m\cdot v^{2))$
kroppsmomentum: $p=m\cdot v=r\cdot m\cdot w$
Tröghetsmoment: $I=r^{2}\cdot m$
impulsmoment: $L=r\cdot m\cdot v=r^{2}\cdot m\cdot w=I\cdot w$
Rörelseenergi: $E=2^{-1}\cdot m\cdot v^{2}=2^{-1}\cdot r^{2}\cdot m\cdot w^{2}=(2\cdot m)^{-1}\cdot p^{2}=2^{-1}\cdot I\cdot w^{2}=(2\cdot I)^{-1}\cdot L^{2}$
Banomkrets : _ $2\cdot \pi \cdot r$
Rörelseperiod: ${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot w^{-1))$
Frekvens: . (Istället för en bokstav betecknas ofta frekvensen med den grekiska bokstaven , som dock ofta inte kan skiljas från bokstaven , som här används för hastighet); $f=T^{-1}$ $f$ $\nu$ $v$
Kvantnummer: var är Plancks konstant ${\displaystyle J=2\cdot \pi \cdot L\cdot \hbar ^{-1))$ $\hbar$

Variabel hastighet

I en cirkulär rörelse kan den totala kraften som appliceras på ett föremål delas upp i två komponenter: centripetal, som håller kroppen i en cirkulär bana (dvs. ändrar riktningen på hastighetsvektorn), och tangentiell, riktad tangentiellt till cirkeln och orsakar en förändring av längden på hastighetsvektorn (dvs. ändrar kroppens rotationshastighet längs omloppsbanan). Storleken på centripetalkomponenten beror på den momentana hastigheten.

Till exempel, när en sten är knuten till änden av ett rep, utsätts den för viss kraft, som vi kan bryta ner i radiella och laterala komponenter. Radial är riktad mot mitten (insidan) av cirkeln och orsakas av att repet motstår förlängning. Och den laterala komponenten avgör om rotationen av stenen kommer att accelerera eller sakta ner.

Beskrivning av cirkulär rörelse i polära koordinater

Banan för kroppens cirkulära rörelse kan beskrivas i det polära koordinatsystemet med värdena på ett fast avstånd R från mitten av omloppsbanan, som är referenspunkten, och orienteringsvinkeln θ ( t ) från vissa fast riktning (fig. 2). Förskjutningsvektorn är en radiell vektor från polen till den aktuella positionen: ${\stackrel {{\vec r}}{}}$

{\vec r}=R{\hat u}_{R}(t)\ ,

där är en enhetsvektor parallell med radien vid tidpunkten t och riktad bort från polen. Det är också bekvämt att introducera en enhetsvektor ortogonal mot , som vi kommer att kalla . Vanligtvis väljs dess orientering i rörelseriktningen längs omloppsbanan. ${\hat u}_{R}(t)$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{\theta }$

Hastighet är derivatan av förskjutning med avseende på tid:

{\vec v}={\frac {d}{dt}}{\vec r}(t)={\frac {dR}{dt}}{\hat u}_{R}+R{\frac { d{\hat u}_{R}}{dt}}\ .

Eftersom cirkelns radie är en konstant är den radiella komponenten av hastigheten noll. Enhetsvektorn har ett tidsinvariant värde, så att när tiden ändras, ligger dess ände alltid på en cirkel med enhetsradie, och vinkeln θ är densamma som y . Om det förekom en liten ökning av vinkeln d θ under tiden dt , så beskriver det enhetscirkelns båge med värdet d θ (se enhetscirkeln till vänster i fig. 2). Följaktligen: ${\hat u}_{R}$ ${\vec r}(t)$ ${\hat u}_{R}$

{\frac {d{\hat u}_{R}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat u}_{\theta }\ ,

där förändringsriktningen måste vara vinkelrät mot (eller, med andra ord, längs ), eftersom varje förändring i d i riktningen kommer att ändra värdet på . Tecknet är positivt eftersom en ökning av d θ påverkar objektet och rör sig i riktningen . Därför blir hastigheten: ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{\theta }$

{\vec v}={\frac {d}{dt}}{\vec r}(t)=R{\frac {d{\hat u}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt)){\hat u}_{\theta}\ =R\omega {\hat u}_{\theta}\ .

Kroppens acceleration kan också delas upp i radiella och tangentiella komponenter. Acceleration är derivatan av hastighet med avseende på tid:

{\vec a}={\frac {d}{dt}}{\vec v}={\frac {d}{dt}}\left(R\ \omega \ {\hat u}_{\theta } \ \höger)\ .

=R\left({\frac {d\omega }{dt))\ {\hat u}_{\theta }+\omega \ {\frac {d{\hat u}_{\theta}}{dt }}\höger)\ .

Tidsderivatan av finns på samma sätt som för . Återigen finns det en enhetsvektor, och dess ände ligger på enhetscirkeln, och vinkeln är π/2 + θ. Därför rör sig ökningen av vektorns vinkel d θ längs bågen med mängden d θ, och eftersom den är vinkelrät mot , har vi: ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{\theta }$ ${\vec r}(t)$ ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{R}$

{\frac {d{\hat u}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta}{dt}}{\hat u}_{R}=-\omega {\hat u}_{R}\ ,

där det negativa tecknet behövs för att hålla sig vinkelrätt mot . (Annars kommer vinkeln mellan och att minska med ökande d θ, se enhetscirkeln till vänster i fig. 2). Därför är accelerationen: ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{R}$ ${\hat u}_{\theta }$ ${\hat u}_{R}$

{\vec a}=R\left({\frac {d\omega }{dt))\ {\hat u}_{\theta}+\omega \ {\frac {d{\hat u}_{\ theta }}{dt}}\right)

=R{\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat u}_{\theta}-\omega ^{2}R\ {\hat u}_{R}\ .

Centripetalacceleration är en radiell komponent riktad radiellt inåt:

{\vec a}_{R}=-\omega ^{2}R{\hat u}_{R}\ ,

medan den tangentiella komponenten ändrar hastighetsvärdet:

{\vec a}_{{\theta }}=R{\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat u}_{\theta }={\frac {dR\omega }{dt}} \ {\hat u}_{\theta }={\frac {d|{\vec v}|}{dt))\ {\hat u}_{\theta }\ .

Beskrivning av cirkulär rörelse i komplexa tal

Cirkulär rörelse kan beskrivas med hjälp av komplexa tal . Låt vara den reella talaxeln och låt vara den imaginära talaxeln. Då kan kroppens position ges som en komplex "vektor" : $x$ $y$ $z$

z=x+iy=R(\cos \theta +i\sin \theta )=Re^{{i\theta }}\ ,

var är den imaginära enheten , och $i$

\theta =\theta (t)\ ,

är vinkeln för den komplexa vektorn med avseende på den reella axeln som en funktion av tiden t . Eftersom radien är en konstant:

{\dot R}={\ddot R}=0\ ,

där punkten anger tidsskillnaden. I dessa notationer har hastigheten formen:

v={\dot {z}}=R{\frac {d}{dt}}\left(i\theta \right)e^{i\theta}=iR{\dot {\theta }} e^{i\theta }=i\omega \cdot Re^{i\theta }=i\omega z

och accelerationen:

a={\dot v}=i{\dot \omega }z+i\omega {\dot z}=(i{\dot \omega}-\omega ^{2})z

=\left(i{\dot \omega}-\omega ^{2}\right)Re^{{i\theta }}

=-\omega ^{2}Re^{{i\theta }}+{\dot \omega }e^{{i{\frac {\pi }{2}}}}Re^{{i\theta } }\ .

Den första termen är riktad mot förskjutningsvektorn, och den andra är vinkelrät mot den, som i de tidigare resultaten.

Länkar

BIGS animation _
Circular Motion (eng.) - kapitlet med självstudier online

Se även

mekanisk rörelse
referenssystem	tröghetsreferensram Icke-inertiell referensram Sammansatt rörelse Relativitetsprincipen
Materialpunkt	Enhetlig rörelse Rätlinjig rörelse Rörelseekvation Rörelseekvationer i en icke-tröghetsreferensram Bana (väg) rör på sig Fart Acceleration ( centripetalacceleration tangentiell acceleration ) rycka
Fysisk kropp	translationell rörelse Plan-parallell rörelse ( Parallell översättning ) Sfärisk rörelse ( Roterande rörelse Cirkulär rörelse Precession nutation )
kontinuum	laminärt flöde turbulent flöde
Relaterade begrepp	Hastighetsplan Tåg dragkraft Sex frihetsgrader