Puls

Puls
${\vec p}=m{\vec v}$
Dimensionera	LMT- 1
Enheter
SI	kg m/s
GHS	g cm/s
Anteckningar
vektorkvantitet

Impuls ( kvantitet av rörelse ) är en vektorfysisk kvantitet , som är ett mått på en kropps mekaniska rörelse .

I klassisk mekanik är en kropps rörelsemängd lika med produkten av denna kropps massa och dess hastighet ; rörelsemängden sammanfaller med riktningen för hastighetsvektorn : $m$ ${\vec {v)),$

{\vec {p}}=m{\vec {v}}.

I relativistisk fysik beräknas momentum som:

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

var är ljusets hastighet ; i gränsen för små blir formeln klassisk. $c$ $v$

Den viktigaste fysiska lagen i vilken en kropps rörelsemängd uppträder är Newtons andra lag :

{\frac {{\mbox{d}}{\vec {p}}}{{\mbox{d}}t}}={\vec {F}},

här är tid, är kraften som appliceras på kroppen. $t$ $\vec{F}$

När man skriver genom momentum (till skillnad från - acceleration ) är lagen tillämplig inte bara i klassisk, utan även i relativistisk mekanik. ${\vec {F}}=m{\vec {a)),$ ${\vec {a}}$

I sin mest allmänna form låter definitionen: momentum är en additiv integral av rörelsen hos ett mekaniskt system , ansluten enligt Noethers teorem med grundläggande symmetri - rymdens homogenitet .

Begreppet "momentum" har generaliseringar i teoretisk mekanik , för fallet med närvaron av ett elektromagnetiskt fält (både för en partikel i fältet och för själva fältet), såväl som i kvantmekaniken .

Termens historia

Medeltida naturfilosofer , i enlighet med Aristoteles läror , trodde att viss kraft krävs för att upprätthålla rörelsen, utan kraft stannar rörelsen. Vissa forskare gjorde en invändning mot detta uttalande: varför fortsätter den kastade stenen att röra sig, även om kopplingen till handens styrka går förlorad?

För att svara på sådana frågor ändrade Jean Buridan (XIV-talet) begreppet " impuls ", tidigare känt inom filosofin. Enligt Buridan har en flygande sten en "impuls" som skulle bibehållas i frånvaro av luftmotstånd. I det här fallet är "impulsen" direkt proportionell mot hastigheten. På ett annat ställe skriver han att kroppar med mer tyngd kan innehålla mer drivkraft.

Under första hälften av 1600-talet introducerade Rene Descartes begreppet "momentum". Han föreslog att inte bara farten hos en kropp isolerad från yttre påverkan bevaras, utan också för alla system av kroppar som endast interagerar med varandra. Det fysiska begreppet massa vid den tiden hade ännu inte formaliserats - och han definierade mängden rörelse som produkten av "kroppens storlek genom hastigheten på dess rörelse". Med hastighet menade Descartes hastighetens absoluta värde (modul), utan hänsyn till dess riktning. Därför var Descartes teori endast i vissa fall förenlig med erfarenheten (till exempel använde Wallis , Rehn och Huygens den 1678 för att studera en absolut elastisk kollision i masscentrumsystemet).

Wallis var 1668 den första som föreslog att rörelsemängden inte skulle betraktas som en skalär, utan som en riktad kvantitet, med hänsyn till riktningarna med hjälp av plus- och minustecknen " [1] . År 1670 formulerade han slutligen lagen om bevarande av momentum Det experimentella beviset för lagen var att den nya lagen gjorde det möjligt att beräkna oelastiska effekter, såväl som effekter i vilken referensram som helst.

Lagen om bevarande av momentum bevisades teoretiskt av Isaac Newton genom Newtons tredje och andra lag . Enligt Newton är "mängden rörelse ett mått på sådan, fastställd i proportion till hastigheten och massan."

Formell abstrakt definition

En impuls är en bevarad fysisk storhet associerad med utrymmets homogenitet (det vill säga invariant under översättningar ).

Från egenskapen homogenitet i rymden följer lagrangianens oberoende av ett slutet system från dess position i rymden: för ett välisolerat system beror dess beteende inte på var i rymden det är placerat. Enligt Noethers teorem innebär denna homogenitet bevarandet av en viss fysisk kvantitet, som kallas momentum.

Inom olika grenar av fysiken, som tillämpas på verkliga problem, ges mer specifika definitioner av momentum, med vilka du kan arbeta och göra beräkningar.

Definitioner av momentum hos en kropp i mekanik

Klassisk mekanik

I klassisk mekanik är den totala impulsen för ett system av materialpunkter en vektorkvantitet lika med summan av produkterna av massorna av materialpunkter och deras hastighet:

{\vec p}=\summa _{{i}}m_{i}{\vec {v}}_{i},

kvantiteten kallas följaktligen rörelsemängden för en materialpunkt. Det är en vektorkvantitet riktad i samma riktning som partikelns hastighet. Enheten för momentum i International System of Units (SI) är kilogram-meter per sekund (kg m/s). ${\vec p}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Drivkraften hos en kropp med ändliga dimensioner hittas genom att mentalt dela upp den i små delar, som kan betraktas som materiella punkter, följt av integration över dem:

{\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz.

Produkten under integralen kallas momentumdensitet . ${\vec {s}}=\rho {\vec {v}}$

Relativistisk mekanik

I relativistisk mekanik är rörelsemängden för ett system av materiella punkter kvantiteten:

{\vec {p}}=\summa _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2 }/c^{2}}}},

var är massan av materialpunkten,

mi

i

\vec v_i

— dess hastighet.

Ett fyrdimensionellt momentum introduceras också , som för en materialpunkt med en massa definieras som: $m$

p_{\mu }=(E/c,{\vec {p)))=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)) )),{\frac {m{\vec {v))}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))\right).

I praktiken används ofta relationerna mellan massan, rörelsemängden och energin hos en partikel:

E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad \qquad \mathbf {p} ={\frac {E }{c^{2}}}\,\mathbf {v} .

Momentum Properties

Additivitet. Denna egenskap innebär att impulsen för ett mekaniskt system bestående av materialpunkter är lika med summan av impulserna för alla materialpunkter som ingår i systemet [2] .
Invarians av det absoluta värdet av impulsen med avseende på rotationen av ISO. [2] I det här fallet, i det allmänna fallet, när IFR ändras , finns det ingen invarians av impulsen eller dess modul vare sig i relativistisk mekanik eller i den klassiska gränsen.
Anledningen till förändringen i momentum med tiden är kraften (enligt Newtons andra lag , ). ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t={\vec {F}}$
Bevarande. Momentet i ett system som inte påverkas av några yttre krafter (eller de kompenseras) bevaras i tiden: (se artikel Law of Conservation of Momentum ). ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t=0$

Bevarande av rörelsemängd följer av Newtons andra och tredje lag : att skriva ner den andra lagen för var och en av de materiella punkter som utgör systemet, presentera kraften som verkar på varje punkt som extern plus kraften av interaktion med alla andra punkter, och sedan summera , vi får: ${\vec {F}}_{i,ext}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\summa _{i}{\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}=\ summa _{i}{\vec {F}}_{i}=\summa _{i}\left({\vec {F}}_{i,ext}+\summa _{j,j\neq j }{\vec {F}}_{i,j}\right)=\summa _{i}{\vec {F}}_{i,ext}+\summa _{i}\summa _{j, j\neq i}F_{i,j}.

Den första termen är lika med noll på grund av kompensationen av yttre krafter, och den andra på grund av Newtons tredje lag (termerna och i dubbelsumman upphäver varandra i par). ${\vec {F}}_{a,b}$ ${\vec {F}}_{b,a}$

Momentet förändras inte under interaktioner som endast ändrar systemets mekaniska egenskaper. Denna egenskap är invariant med avseende på galileiska transformationer [2] . Egenskaperna för bevarande av kinetisk energi, bevarande av rörelsemängd och Newtons andra lag är tillräckliga för att få ett matematiskt uttryck för rörelsemängd [3] [4] .

I närvaro av elektromagnetisk interaktion mellan materiella punkter kanske Newtons tredje lag inte uppfylls - och då kommer det inte att finnas någon bevarande av summan av rörelsemängd av punkter. I sådana fall, särskilt inom relativistisk mekanik, är det mer praktiskt att i begreppet "system" inkludera inte bara en samling av punkter, utan också fältet för interaktion mellan dem. Följaktligen kommer inte bara momentet för partiklarna som utgör systemet att tas med i beräkningen, utan också momentumet för interaktionsfältet. I det här fallet introduceras en kvantitet - energimoment-tensorn , som helt uppfyller bevarandelagarna.

När det gäller 4-momentet , för ett system av icke-samverkande materialpunkter, är deras totala 4-momentum lika med summan över alla partiklar. I närvaro av interaktion förlorar sådan summering sin mening.

Generaliserat momentum

I teoretisk mekanik i allmänhet

I teoretisk mekanik är den generaliserade impulsen den partiella derivatan av systemets lagrangian med avseende på den generaliserade hastigheten:

p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}.

En generaliserad impuls, som en icke-generaliserad, betecknas med en bokstav , vanligtvis från sammanhanget är det tydligt vad som står på spel. ${\vec {p));$

Dimensionen av det generaliserade momentet beror på dimensionen av den generaliserade koordinaten . Om dimensionen är längd, kommer den att ha dimensionen av en vanlig impuls, men om koordinaten är vinkeln (ett dimensionslöst värde), kommer den att få dimensionen av impulsmomentet. Om systemets lagrangevärde inte beror på någon generaliserad koordinat, då från Lagrangekvationerna $q_{i}$ $pi}$ $q_{i}$ $pi}$ $dp_{i}/dt=0.$

Om den generaliserade koordinaten är en vanlig koordinat (och då dess tidsderivata är helt enkelt hastighet), och det inte finns några yttre fält, är det generaliserade momentum identiskt med det vanliga. Så för en fri partikel har Lagrange-funktionen formen:

{\mathcal L}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}

, härifrån: .

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))

För en partikel i ett elektromagnetiskt fält

I ett elektromagnetiskt fält kommer Lagrangian för en partikel att skilja sig från den som anges ovan genom närvaron av ytterligare termer, nämligen . Följaktligen är partikelns generaliserade rörelsemängd lika med: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q\varphi +q{\vec {v}}\ cdot {\vec {A).$

{\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q{\mathbf A} ,

där är vektorpotentialen för det elektromagnetiska fältet , är partikelns laddning ; den skalära potentialen förekom också i uttrycket för . ${\mathbf A}$ $q$ ${\mathcal L}$ $\varphi$

Momentum av det elektromagnetiska fältet

Det elektromagnetiska fältet, som alla andra materiella föremål, har ett momentum som lätt kan hittas genom att integrera Poynting-vektorn över volymen :

{\mathbf p}={\frac {1}{c^{2))}\int {\mathbf S}dV={\frac {1}{c^{2))}\int [{\mathbf E }\ gånger {\mathbf H}]dV

(i SI- systemet ).

Förekomsten av ett momentum i ett elektromagnetiskt fält förklarar till exempel ett sådant fenomen som trycket från elektromagnetisk strålning .

Momentum i kvantmekaniken

Definition via

Inom kvantmekaniken kallas momentumoperatorn för en partikel för operatorn - generatorn för översättningsgruppen. Detta är den hermitiska operatören , vars egenvärden identifieras med rörelsemängden hos partikelsystemet. I koordinatrepresentationen för ett system av icke-relativistiska partiklar har den formen:

{\hat {{\mathbf {P}}}}=\sum _{j}{\hat {{\mathbf {p}}}}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j}

där är nabla-operatorn som motsvarar differentiering med avseende på koordinaterna för den -te partikeln. $\nabla _{j}$ $j$

Hamiltonian för systemet uttrycks i termer av momentumoperatorn:

${\hat {H}}=\summa _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {{\mathbf {p}}}}_{i}^{2}+U ({\mathbf {r_{1))},\dots )$ .

För ett slutet system ( ) pendlar momentumoperatorn med Hamiltonian, och momentumet bevaras. $U=0$

Definition i termer av de Broglie-vågor

De Broglie-formeln relaterar momentum och de Broglie-våglängden för objektet i fråga.

Momentummodulen är omvänt proportionell mot våglängden $\lambda :$

p={\frac h\lambda }

var är Plancks konstant . $h$

För partiklar med inte särskilt hög energi som rör sig med en hastighet ( ljusets hastighet ), är momentummodulen (var är partikelns massa), och: $v\ll c$ $p=mv$ $m$

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}

Följaktligen är de Broglie-våglängden desto mindre, desto större är momentummodulen.

I vektorform skrivs detta som:

{\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}}

var är vågvektorn . ${\vec k}$

Liksom i klassisk mekanik finns det inom kvantmekaniken bevarande av momentum i isolerade system [5] [6] . I de fenomen när partiklarnas korpuskulära egenskaper manifesteras, skrivs deras rörelsemängd " klassiskt " som I det här fallet, liksom i klassisk mekanik, är bevarandet av momentum en konsekvens av symmetri med avseende på förskjutningar i koordinater [8] . $p=mv$ ${\displaystyle p=h\lambda ^{-1))$

Impuls i hydrodynamik

I hydrodynamik, istället för massan av en materialpunkt, betraktar de massan av en volymenhet, det vill säga densiteten hos en vätska eller gas . I detta fall, istället för momentum, visas momentumdensitetsvektorn, som sammanfaller i betydelse med massflödestäthetsvektorn $\rho .$

{\vec {s}}=\rho {\vec {v}}.

Eftersom egenskaperna hos materiens tillstånd (inklusive densitet och hastighet) i ett turbulent flöde är föremål för kaotiska fluktuationer, är genomsnittliga kvantiteter av fysiskt intresse. Inverkan av hydrodynamiska fluktuationer på flödesdynamiken beaktas av metoderna för statistisk hydromekanik, där rörelseekvationerna som beskriver beteendet hos de genomsnittliga flödesegenskaperna i enlighet med O. Reynolds -metoden erhålls genom att medelvärdesbilda Navier-Stokes ekvationer [9] .

Om vi, i enlighet med Reynolds-metoden, representerar , där överlinjen är tecknet på medelvärde, och strecket är avvikelsen från medelvärdet, kommer vektorn för den genomsnittliga momentumdensiteten att ha formen: $\rho ={\overline {\rho ))+\rho ',$ ${\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}',$

\ {\overline {\vec {s}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v} ))+{\vec {S)),

var är fluktuationsmassflödestäthetsvektorn (eller " turbulent momentumdensitet " [9] ).

\ {\vec S}=\overline {\rho '{\vec v}'}

Momentumrepresentation i kvantfältteori

I kvantfältteorin används ofta momentumrepresentationen baserat på användningen av Fouriertransformen. Dess fördelar är: bekvämligheten av att beskriva fysiska system med hjälp av energier och impulser, och inte med hjälp av rum-tid-koordinater; mer kompakt och visuell struktur av dynamiska variabler [10] .

Se även

Anteckningar

↑ Grigoryan A. T. Mekanik från antiken till våra dagar. — M.: Nauka , 1974.
↑ 1 2 3 Aizerman, 1980 , sid. 49.
↑ Aizerman, 1980 , sid. 54.
↑ Sorokin V. S. "The law of conservation of motion and the measure of motion in physics" Arkivkopia daterad 1 januari 2015 på Wayback Machine // UFN , 59, sid. 325-362, (1956)
↑ Perkins D. Introduktion till högenergifysik. - M., Mir , 1975. - c. 94
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Nuclear Physics. - M. : Nauka, 1972. - S. 276. - 670 sid.
↑ Feynman R. F. ]. Feynman föreläser om fysik. Problem. 1 Modern naturvetenskap. Mekanikens lagar .. - M . : Redaktionell URSS, 2004. - S. 194. - 440 sid. — ISBN 5-354-00699-6 .
↑ Fermi E. Kvantmekanik. - M . : Mir, 1968. - S. 183. - 367 sid.
↑ 1 2 Monin A.S. , Yaglom A.M. Statistical hydromechanics. Del 1. - M . : Nauka, 1965. - 639 sid.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Quantum fields. - M., Nauka, 1980. - sid. 25

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 215 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. — Upplaga 4. - M . : Fizmatlit , 2002. - T. I. Mechanics. — 792 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Aizerman M.A. Klassisk mekanik. — M .: Nauka, 1980. — 368 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Stor norsk Stor ryss Britannica (online) Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4130721-5 J9U : 987007541140805171 LCCN : sh85086658 NKC : ph120957