Vektorpotential för det elektromagnetiska fältet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 mars 2021; kontroller kräver 9 redigeringar .

Vektorpotential för det elektromagnetiska fältet
${\vec A}$
Dimensionera	MLT- 2I - 1
Enheter
SI	Tl m $\,\cdot \,$
GHS	Gf cm $\,\cdot \,$
Anteckningar
Vektorkvantitet

Vektorpotential för ett elektromagnetiskt fält, A (vektorpotential, magnetisk potential) - i elektrodynamik , vektorpotential , vars rotor är lika med magnetisk induktion :

\mathbf {B} =\operatörsnamn {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} .

Definierat upp till gradienten för en godtycklig skalär funktion . Det mäts i T m (SI) eller G cm (CGS). $\nabla \psi$ $\cdot$ $\cdot$

Vektorpotentialen (A) är den rumsliga komponenten av 4-vektorn av den elektromagnetiska potentialen .

Maxwells ekvationer

Ett sätt att skriva Maxwells ekvationer är att formulera dem i termer av vektor- och skalära potentialer.

I detta fall uppfylls ekvationen automatiskt. $\operatörsnamn {div}{\mathbf B}=0$

Uttrycksersättning för in ${\mathbf A}$

\operatörsnamn {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

leder till ekvationen

\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

enligt vilken, precis som i elektrostatik , introduceras en skalär potential. Men nu bidrar både skalär- och vektorpotentialerna till: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\operatörsnamn {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Det följer av ekvationen $\operatörsnamn {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatörsnamn {rot} \;\operatörsnamn {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ partiell }{\partial t))\left(-\operatörsnamn {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right).

Med hjälp av likheten kan ekvationerna för vektor- och skalära potentialer skrivas som $\operatörsnamn {rot}\;\operatörsnamn {rot}{\mathbf A}=\operatörsnamn {grad}\;\operatörsnamn {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operatörsnamn {grad} \left(\operatörsnamn {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\partial t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatörsnamn {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

Vektorpotential och magnetiskt flöde

I enlighet med Stokes-satsen uttrycks det magnetiska flödet genom en krets lätt i termer av cirkulationen av en vektorpotential längs denna krets: $\Phi$ $L$ $\mathbf {A}$

\Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl} .

Kalibrering av vektorpotentialen

Det är lätt att verifiera att omvandlingarna

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi ,

\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)),

där är en godtycklig skalär funktion av koordinater och tid, ändra inte Maxwells ekvationer ( mätinvarians , enligt Noethers teorem, den motsvarar lagen om bevarande av elektrisk laddning ). För att underlätta att lösa dessa ekvationer införs ett ytterligare artificiellt villkor, kallat potential gauge . När man löser en annan klass av problem är en eller annan kalibrering bekvämare. Två används ofta - Coulomb-mätaren och Lorentz-mätaren. $\psi$

Coulomb Calibration

Coulomb-mätaren kallas uttrycket:

\operatörsnamn {div} \mathbf {A} =0.

Denna kalibrering är praktisk för att överväga magnetostatiska problem (med strömmar konstanta i tiden).

Lorentz mätare

Lorentz-mätaren är villkoret att 4-divergensen av potentialen är lika med noll (i SI):

\nabla _{\mu }A_{\mu }=\operatörsnamn {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t }}=0.

I det här fallet skrivs ekvationerna om som D'Alembertians :

\square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}} }=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

Ekvationer skrivna i denna form är mer bekväma att använda för att lösa icke-stationära problem.

Den fysiska betydelsen av vektorpotentialen

Man tror vanligtvis att vektorpotentialen är en kvantitet som inte har en direkt fysisk betydelse, introducerad endast för att underlätta beräkningar. Det gick dock att sätta upp experiment som visade att vektorpotentialen är tillgänglig för direkt mätning. Precis som den elektrostatiska potentialen är relaterad till begreppet energi , är vektorpotentialen nära relaterad till begreppet momentum .

Kvantmekanisk fasförskjutning

Inverkan av ett magnetfält på en kvantpartikels rörelse leder till en fasförskjutning [1] [2] :

\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{{S}}^{{}}({\mathbf {A}),\;d{\mathbf { l}}),

var är elektronladdningen , är ljusets hastighet i vakuum, är den reducerade Planck-konstanten , är magnetfältets vektorpotential och är elementet i partikelns bana. $e$ $c$ $\hbar$ $\mathbf {A}$ $d{\mathbf {l))$

I det här fallet inträffar också en fasförskjutning när partikeln passerar genom områden där , inte bara är lika med noll . Detta händer till exempel när man observerar Aharonov-Bohm-effekten [3] . ${\mathbf B}=0$ ${\mathbf A}$

Generaliserat momentum

När en partikel rör sig i ett elektromagnetiskt fält är den totala rörelsemängden inte bara , utan . Följaktligen, när en partikel rör sig i ett rent magnetiskt fält, är det just denna kvantitet som bevaras. Det finns en analogi med den totala energin för en partikel , som kan betraktas som summan av kinetisk och potentiell energi. ${\mathbf {P}}$ ${\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ ${\mathbf {p}}+q{\mathbf {A}}$ $E=T+U={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q\varphi$

Momentum av en partikel under en snabb avstängning av magnetfältet

Om en laddad partikel befinner sig nära en källa till ett magnetiskt fält, som snabbt stängs av vid en viss tidpunkt, får den ytterligare fart även om den var noll vid den punkt där partikeln befann sig (till exempel från utsidan av solenoiden). I synnerhet om partikeln var i vila innan fältet stängdes av, börjar den röra sig med ett momentum lika med . Därmed får vi möjlighet att direkt mäta vektorpotentialen i ett makroskopiskt system. $\Delta {\mathbf {p}}=q{\mathbf {A}}$ $\mathbf {B}$ $q{\mathbf {A}}$

Slutsats

När vektorpotentialen ändras uppstår ett elektriskt fält:

\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Vi skriver Newtons andra lag i en generaliserad form:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} ,

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q[\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]].

Om fältet stängs av tillräckligt snabbt och partikelhastigheten är låg, då

{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\gg [\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]],

och den partiella derivatan med avseende på tid sammanfaller praktiskt taget med totalen:

{\frac {d\mathbf {A} }{dt))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {A} \approx {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Totalt har vi:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}.

Vi integrerar över tiden:

\mathbf {p} '-\mathbf {p} =-q(\mathbf {A} '-\mathbf {A} ).

Och eftersom vi får ${\mathbf {A}}'=0$ $\Delta \mathbf {p} =q\mathbf {A} .$

Måttenheter

I SI- systemet är enheten för vektorpotential weber per meter ( Wb/ m , dimension - V s / m = kg m s −2 A −1 ) .

Se även

Anteckningar

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman föreläsningar om fysik. - M . : Mir, 1966. - T. 6. - 344 sid.
↑ Feynman R., Hibs A. Kvantmekanik och vägintegraler. — M .: Mir, 1968. — 382 sid.
↑ Aharonov, Y. och D. Bohm. Betydelsen av elektromagnetiska potentialer i kvantteorin // Phys. Rev.. - 1959. - T. 115 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - (" Teoretisk fysik ", volym II).
Savelyev I. V. Kurs i fysik. T.2. elektricitet och magnetism. Vinka. Optik - 1982. - 496 sid.