Vektorpotential

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I vektoranalys är en vektorpotential ett vektorfält vars rotor är lika med ett givet vektorfält. Det är analogt med en skalär potential , som definieras som ett skalärt fält vars gradient är lika med ett givet vektorfält.

Formellt, om är ett vektorfält, är en vektorpotential ett vektorfält så att $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {v}}=\nabla \times {\mathbf {A}}.

Om är en vektorpotential för fältet , då från identiteten $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0

( rotorns divergens är noll) följer

\nabla \cdot {\mathbf {v}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0,

det vill säga måste vara ett solenoidalt vektorfält . $\mathbf{v}$

För varje solenoidalt vektorfält som uppfyller vissa villkor finns det en vektorpotential. Speciellt beror dess existens på den region som fältet definieras på - i fallet med en multipelt ansluten region, existerar vanligtvis inte virvelfältspotentialen.

Sats

Låta

{\mathbf {v}):{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}

är ett två gånger kontinuerligt differentierbart solenoidalt vektorfält . Låt oss anta att det minskar tillräckligt snabbt för . Låt oss definiera $\mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)$ $\|\mathbf {x} \|\högerpil \infty$

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .

Då finns en vektorpotential för , det vill säga, $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \times {\mathbf {A}}={\mathbf {v}}.

En generalisering av detta teorem är Helmholtz-sönderdelningen , enligt vilken vilket vektorfält som helst kan representeras som summan av ett solenoidalt vektorfält och ett irrotationsvektorfält .

Tvetydighet i valet av potential

Vektorpotentialen för ett solenoidalt vektorfält definieras tvetydigt. Om är en vektorpotential för , så är det $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {A} +\nabla m,

var är varje kontinuerligt differentierbar skalär funktion. Detta är en konsekvens av det faktum att gradientkurlen är noll. $m$

Inom elektrodynamik ger detta tvetydighet vid bestämning av potentialerna för det elektromagnetiska fältet och löses genom att införa ett ytterligare kalibreringsvillkor för potentialen .

Vektorpotential i fysik

Maxwells ekvationer

Ett sätt att skriva Maxwells ekvationer är att formulera dem i termer av vektor- och skalära potentialer. Vektorpotentialen introduceras på ett sådant sätt att ${\mathbf A}$

\mu _{0}{\mathbf H}={\mathbf B}=\operatörsnamn {rot}{\mathbf A}

(i SI- systemet ).

I detta fall uppfylls ekvationen automatiskt. $\operatörsnamn {div}{\mathbf B}=0$

Uttrycksersättning för in ${\mathbf A}$

\operatörsnamn {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

leder till ekvationen

\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

enligt vilken, precis som i elektrostatik , introduceras en skalär potential. Men nu bidrar både skalär- och vektorpotentialerna till: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\operatörsnamn {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Det följer av ekvationen $\operatörsnamn {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatörsnamn {rot} \;\operatörsnamn {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ partiell }{\partial t))\left(-\operatörsnamn {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right).

Med hjälp av likheten kan ekvationerna för vektor- och skalära potentialer skrivas som $\operatörsnamn {rot}\;\operatörsnamn {rot}{\mathbf A}=\operatörsnamn {grad}\;\operatörsnamn {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operatörsnamn {grad} \left(\operatörsnamn {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\partial t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatörsnamn {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

Den fysiska betydelsen av vektorpotentialen

I klassisk elektrodynamik tolkades vektorpotentialen ganska ofta som en storhet som inte hade någon direkt fysisk betydelse, formellt introducerad endast för att underlätta beräkningar, även om vektorpotentialen redan i aktionsstrukturen för klassisk elektrodynamik kommer in på ett så direkt sätt att detta antyder dess grundläggande natur.

I kvantteorin har detta en transparent fysisk betydelse av vektorpotentialens direkta inverkan på fasen av vågfunktionen hos en partikel som rör sig i ett magnetfält. Dessutom var det möjligt att utföra kvantexperiment som visade att vektorpotentialen är tillgänglig för en ganska direkt mätning i en viss mening (åtminstone pratar vi om det faktum att vektorpotentialen kan påverka en kvantpartikel i en observerbar mätbar sätt även när magnetfältsstyrkan i regionerna, tillgänglig för partikeln, är noll överallt, det vill säga magnetfältet kan inte påverka partikeln genom intensiteten, utan endast direkt genom vektorpotentialen; se Aharonov-Bohm-effekten ).