Momentum operatör

Momentumoperatorn är en kvantmekanisk operator som används för att beskriva momentumet .

Definition baserad på de Broglie-vågen

Energi- och momentumoperatorerna kan konstrueras på följande sätt [1] .

Endimensionellt fall

Lösningen av den endimensionella Schrödinger-ekvationen i form av en plan våg har formen:

{\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)))

Första ordningens derivata med avseende på koordinaten:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi

Uttrycker från de Broglie-relationen : $k$

p=\hbar k

formeln för derivatan ψ har följande form:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi

Alltså får vi:

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

Storheterna som mäts i experimentet är egenvärdena för den givna operatorn.

Eftersom den partiella derivatan är en linjär operator är momentumoperatorn också linjär. Eftersom varje vågfunktion kan uttryckas som en kvantöverlagring av tillstånd, när denna momentumoperator verkar på hela vågsuperpositionen, ger den egenvärden för varje plan våg, vars summa är det resulterande momentumet för vågsuperpositionen.

Tre dimensioner

Ekvationen i tre dimensioner skrivs på liknande sätt, förutom gradientoperatorn, som inkluderar partiella derivator med avseende på koordinater. I det tredimensionella fallet kommer lösningen av Schrödinger-ekvationen i form av plana vågor att vara följande:

{\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

var är gradienten

{\begin{aligned}\nabla \Psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \Psi }{\partial x))+\mathbf {e} _{y}{ \frac {\partial \Psi }{\partial y))+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \Psi }{\partial z))\\&=ik_{x}\Psi \ mathbf {e} _{x}+ik_{y}\Psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\Psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i} {\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\ höger)\Psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \Psi \\\end{aligned}}

där , och är enhetsvektorer för tredimensionalitet, och därmed $\mathbf{e}_x$ $\mathbf{e}_y$ $\mathbf{e}_z$

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Detta är momentumoperatorn i koordinatrepresentationen - de partiella derivatorna i den tas med avseende på rumsliga variabler.

Definition baserad på översättningsinvarians

Översättningsoperatorn betecknas som T ( ϵ ) , där ϵ är storleken på översättningen och uppfyller följande relation:

T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle

som blir

\int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi ( x-\epsilon )

Om man antar att ψ är en analytisk funktion (det vill säga differentierbar i någon domän av det komplexa planet ), kan den expanderas till en Taylor-serie i x :

{\displaystyle \psi (x-\epsilon )=\psi (x)-\epsilon {d\psi \over dx))

sedan:

T(\epsilon )=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)

Som är känt från klassisk mekanik är momentum en översättningsgenerator , så förhållandet mellan översättning och momentumoperatorer kommer att se ut så här:

T(\epsilon )=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p))

sedan

{\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\,.

Fyrdimensionell momentumoperator

Denna operatör ser ut så här:

{\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right) =i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }

där ∂ μ är 4-gradienten och − iħ blir + iħ framför 3D-momentoperatorn. Denna operator förekommer i relativistisk kvantfältteori , liksom Dirac-ekvationen och andra relativistiska vågekvationer . Energi och momentum kombineras till en 4-momentvektor och motsvarar första ordningens partiella derivator med avseende på tid och position för att matcha Lorentz-invarians .

Egenskaper

Hermiticitet

Momentumoperatorn tillhör hermitiska operatorer [2] .

Kommuteringsförhållanden

Med hjälp av koordinat- eller momentumrepresentationen kan det visas att:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .

Bevis:

Låt oss skriva uttrycket och multiplicera det med funktionen $\psi (x)$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)-(-i\ hbar {d \over dx}(\psi (x)x))

genom att tillämpa regeln om differentiering av en komplex funktion får vi:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)+xi\hbar { d \over dx}\psi (x)+\psi (x)i\hbar {d \over dx}\ x

förkorta:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=\psi (x)i\hbar

dividera båda delarna med funktionen $\psi (x)$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]=i\hbar

Således är koordinaten och momentum konjugerade kvantiteter .

Dessutom är momentumkomponentoperatorerna också kommutativa.

Fouriertransform

Det kan visas att Fouriertransformen av momentum är koordinatoperatorn . Använda notationen i form av bra och ket vektorer :

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {d \over dx}\psi (x)

Detsamma gäller för koordinatoperatorn i momentumnotation:

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {d \over dp}\psi (p)

och en annan viktig relation:

\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {d \over dp}\delta (pp')

\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {d \over dx}\delta (xx')

där motsvarar Dirac delta-funktionen . $\delta$

Länkar

↑ Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
↑ Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). - 6:e upplagan, reviderad. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III). — ISBN 5-9221-0530-2