En 4-gradient ( fyra-gradient , fyra -gradient , 4-nabla ; betecknad D , eller ) i speciell relativitet är en 4-vektors differentialoperator i det pseudo-euklidiska Minkowski-rummet , definierad som [1]
var är 3- gradientvektorn . Det bör noteras att de kovarianta komponenterna för 4-vektoroperatorn är skrivna ovan. Kontravarianta komponenter som skiljer sig åt med ett minustecken framför de rumsliga komponenterna används sällan, till exempel för att beräkna kvadraten av 4-gradienten [1] (här och nedan - den metriska tensorn ; Einsteins konvention om summering över upprepade koordinatindex är Begagnade).
Om vi beräknar den skalära produkten D av sig själv (med tanke på att Minkowski-utrymmet är pseudo -euklidiskt), så får vi den skalära 4-dimensionella d'Alembert-operatorn :
där Δ är Laplace-operatorn .
Ett annat sätt att ange en 4-gradient är med ett kommatecken före koordinatindexet. Således, om a är en skalär, så är dess 4-gradient
Punktprodukten av en 4-gradientvektor (vänster) och en 4-vektor definierar en 4-divergens :
där är de kontravarianta komponenterna i 4-vektorn , och är divergensen av .
Symbolen (och ibland ) används också som den kovarianta derivatan i kurvlinjära koordinater :
var finns Christoffel-symbolerna . I de kartesiska koordinaterna för det euklidiska (pseudo-euklidiska) rummet är Christoffel-symbolerna noll och den kovarianta derivatan sammanfaller med 4-gradienten. Den kovarianta derivatan av en skalär sammanfaller med 4-gradienten, oberoende av koordinaternas krökning: