Einstein-konventionen

I tensoranalys , särskilt i dess tillämpningar på allmän relativitet , elasticitet och differentialgeometri , när man skriver uttryck från flerkomponentstorheter numrerade med upphöjda och nedsänkta ( tensorer ), är det bekvämt att använda en regel som kallas Einstein-konventionen (även känd som " Einsteins summeringsregel "): om samma bokstav i indexbeteckningen förekommer i en monomial både ovan och under, antas en sådan monomial summeras över alla värden som detta index kan ta. Till exempel i uttrycket

v_k=a_ib^i_k

indexet förekommer både över och under, så detta uttryck anses likvärdigt med summan $i$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Mer exakt

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

var är dimensionen på utrymmet som och definieras (här antas att numreringen av koordinater börjar från ett). $n$ $a$ $b$

Indexet över vilket summeringen utförs kallas mute ; det kan ersättas med vilken bokstav som helst, medan värdet på uttrycket som det skrivs i inte ändras (uppenbarligen, ). Om indexet inte är dumt ( ett fritt index), måste det förekomma på samma plats i båda delarna av (o)jämlikheten; i själva verket, i det här fallet är ett uttryck ett system av uttryck (likheter eller ojämlikheter), vars antal är lika med n s , där s är antalet fria index. Till exempel, om dimensionen n = 4 , då uttrycket ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j))$

r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i}

med två fria index är k och l en förkortning av 4 2 =16 likheter, på höger sida om var och en av dem är summan av fyra produkter:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

Vid användning av uttryck i form av bråk, såsom partiella derivator, anses upphöjda skrifter skrivna i nämnaren vara nedsänkta för tillämpningen av regeln och vice versa; till exempel uttrycket

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i},

skrivs i formen

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i))

eller i ännu enklare form, när kommatecknet före indexet anger partiell differentiering med avseende på motsvarande koordinat:

f^{,i}dx_{i}.

I vissa fall [1] (om den metriska tensorn alltid antas vara lika med δ ik ), särskiljs inte övre och nedre index i formler. I detta fall utförs summeringen över valfritt par av upprepade index som förekommer i samma produkt av tensorer. Till exempel i tredimensionellt euklidiskt rum $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\summa _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

Med hjälp av Einsteins standardkonvention bör man skriva . $D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$

Anteckningar

↑ Till exempel i elasticitetsteorin. Se L. D. Landau och E. M. Lifshitz, Theoretical Physics. T. VII. Teori om elasticitet. — M .: Nauka, 1987.