Integraler av rörelse

Inom mekanik kallas funktionen där - generaliserade koordinater , - generaliserade hastigheter i systemet, rörelseintegralen (av det givna systemet), om på varje bana av detta system, men funktionen är inte identiskt konstant. $I=I(q, \dot q),$ $q$ $\dot q$ $I(q, \dot q)=\mathrm{const}$ $q(t)$ $I(q, \dot q)$

Integraler av rörelse som har additivitet eller asymptotisk additivitet kallas bevarandelagar .

Integraler av rörelse i klassisk mekanik

I klassisk mekanik, för ett slutet system av partiklar i tredimensionellt utrymme , mellan vilket det inte finns några stela anslutningar, är det möjligt att bilda oberoende rörelseintegraler - dessa är de första integralerna av motsvarande Hamilton-ekvationers system . Av dessa är tre additiv: energi , rörelsemängd , rörelsemängd [1] . $N$ $6N-1$

Applikation

Rörelseintegraler är användbara eftersom vissa egenskaper hos denna rörelse kan vara kända även utan att integrera rörelseekvationerna . I de mest framgångsrika fallen representerar rörelsebanorna skärningspunkten mellan isoytorna för motsvarande rörelseintegraler. Till exempel visar Poinsot-konstruktionen att utan vridmoment är rotationen av en stel kropp skärningspunkten mellan en sfär (bevarande av totalt vinkelmoment) och en ellipsoid (bevarande av energi) - en bana som är svår att härleda och visualisera. Därför är att hitta integraler av rörelse ett viktigt mål inom mekanik .

Metoder för att hitta integraler av rörelse

Det finns flera metoder för att hitta integraler av rörelse:

Den enklaste, men också den minst rigorösa metoden är ett intuitivt tillvägagångssätt, ofta baserat på experimentella data och efterföljande matematiska bevis för bevarandet av magnitud.

Hamilton-Jacobi-ekvationen erbjuder en rigorös och direkt metod för att hitta rörelseintegraler, speciellt om Hamiltonian tar den välbekanta funktionella formen i ortogonala koordinater .

Ett annat tillvägagångssätt är att sammanställa den bevarade kvantiteten och någon form av lagrangisk symmetri . Noethers teorem ger ett systematiskt sätt att härleda sådana storheter från symmetrier. Till exempel, lagen om bevarande av energi är ett resultat av det faktum att Lagrangian inte förändras med avseende på en förskjutning i tid, lagen om bevarande av momentum är likvärdig med invariansen av Lagrangian med avseende på en förskjutning av ursprunget i rymden ( translationssymmetri ), och lagen om bevarande av rörelsemängd följer av rymdens isotropi (lagrangian förändras inte med rotationer av systemkoordinaterna). Det omvända är också sant: varje symmetri hos Lagrangian motsvarar en integral av rörelse.

En kvantitet bevaras om den inte uttryckligen beror på tiden och dess Poisson-parenteser med systemets Hamiltonian är lika med noll: $A$

{\frac {dA}{dt))={\frac {\partial A}{\partial t))+[A,H]=0

Ett annat användbart resultat är känt som Poissons teorem , som säger att om det finns två integraler av rörelse och , då är Poisson-parenteserna för dessa två storheter också en rörelseintegral, förutsatt att ett uttryck som är oberoende av integralerna erhålls. $A$ $B$ $[A, B]$

Ett system med frihetsgrader och rörelseintegraler så att Poisson-parenteserna för alla par av integraler är noll är känt som ett helt integrerbart system . En sådan uppsättning av rörelseintegraler sägs vara i involution med varandra. $n$ $n$

I hydrodynamik

I den fria (utan yttre krafterna) rörelsen av en idealisk (ingen avledning, ingen viskositet) inkompressibel (volymen av någon del bevaras) vätska, bevaras följande kvantiteter:

kinetisk energi (se även Bernoulli-integralen ) $\int\limits_V\vec{v}^2\,dV$
hydrodynamisk helicitet $\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatörsnamn{rot}\,\vec{v}\,dV$

Om rörelsen är tvådimensionell bevaras också enstrofi . $\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS$

I ideal magnetohydrodynamik bevaras den första integralen (total energi som summan av vätskans kinetiska energi och magnetfältets energi), den andra (hydrodynamisk helicitet ) försvinner, men två andra rörelseintegraler uppträder:

Det magnetiska fältets helicitet är , var är vektorns magnetiska potential . $\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatörsnamn{rot}\,\vec{A}$ $\vec{A}$
Cross helicity - $\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}$

I kvantmekaniken

Den observerade kvantiteten Q bevaras om den pendlar med Hamiltonian H , vilket inte explicit beror på tiden. Det är därför

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |{\hat {Q}}|\psi \rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[ {\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}|\psi \rangle

där kommuteringsrelationen används

[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}

Slutsats

Låt det finnas några observerbara , som beror på position, momentum och tid $F$

Q=Q(x,p,t)

och det finns också en vågfunktion , som är en lösning på motsvarande Schrödinger-ekvation

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {\mathcal {H))}\psi

För att beräkna tidsderivatan av det observerbara medelvärdet används produktdifferentieringsregeln och resultatet efter vissa manipulationer ges nedan $F$

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \, = \frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q} | \psi \rangle \, =

= \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \hat{\mathcal H} \psi | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi | \hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \,=

={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q))}{\partial t))|\psi \rangle

Som ett resultat får vi

{\frac {d}{dt}}{\hat {Q}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]+{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}

Relation till kvantkaos och kvantintegrerbarhet

Inom klassisk mekanik finns Liouvilles sats , enligt vilken ett system där antalet rörelseintegraler i involutionen sammanfaller med antalet frihetsgrader kan helt integreras (lösas) genom metoden för separation av variabler i Hamilton-Jacobis ekvation. Ett sådant system är ett integrerbart system . Banan för ett sådant system i dimensionellt fasutrymme kan representeras i lämpliga variabler ( variabler action-angle ) som en lindning på en dimensionell torus. Ett system där antalet integraler är mindre än antalet frihetsgrader uppvisar kaotiskt beteende , det vill säga banor i fasrymden med nära initiala villkor kan divergera exponentiellt. Med en lätt deformation av det integrerbara systemet till ett icke-integrerbart system förstörs den dimensionella torusen i det dimensionella fasutrymmet ("suddig"), vilket till exempel förvandlas till en konstig atttraktor . $n$ $2n$ $n$ $n$ $2n$

Kvantanalogen till Liouville-satsen är okänd, men även i kvantfallet kan system delas in i integrerbara och icke-integrerbara. Med integrerbar menar vi i detta fall system som medger en exakt lösning i betydelsen möjligheten att hitta alla egenvärden och egenfunktioner hos Hamiltonianen i rimlig form. En kvantanalog av metoden för separation av variabler är känd, men dess tillämpning är inte så universell i klassiska fall. Kända exempel visar att det i kvantintegrerbara system, såväl som i klassiska, finns rörelseintegraler som pendlar med varandra. Men närvaron av rörelseintegraler garanterar tydligen ännu inte kvantintegrerbarhet. Problemet med kvantisering av integrerbara system är sökandet efter ett sådant kvantsystem som skulle medge en exakt lösning och skulle ge ett givet klassiskt system i den klassiska gränsen. Det finns också exempel på integrerbara kvantsystem som inte har integrerbara klassiska analoger. Detta händer om systemet kan lösas för speciella värden av parametrarna för kvant Hamiltonian , eller när systemet inte tillåter en klassisk beskrivning (som ett system av spins ). $n$ $n$

Alla andra kvantsystem visar tecken på kvantkaos i en eller annan grad . Klassiska kaotiska system tillåter kvantisering i den meningen att deras tillståndsrum och Hamiltonian kan definieras korrekt, men både klassiska kaotiska system och kvantsystem verkar inte tillåta en exakt lösning. De kan undersökas med ungefärliga metoder som störningsteorin och variationsmetoden , såväl som numeriskt undersökas genom metoder för molekylär dynamik i det klassiska fallet eller numerisk diagonalisering av Hamiltonian i kvantfallet.

Se även

Anteckningar

↑ Savelyev, 1987 , sid. 74.

Litteratur

Griffiths, David J.Introduktion till kvantmekanik (2:a upplagan) (engelska) . — Prentice Hall , 2004.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 215 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl. - M. : Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Savelyev I.V. Kurs i allmän fysik. T. 1. Mekanik. Molekylär fysik. — M .: Nauka, 1987. — 432 sid.