Superintegrerbart Hamiltonian-system

Inom matematik är ett superintegrerbart Hamilton-system ett Hamilton-system på ett dimensionellt symplektiskt grenrör som uppfyller följande villkor: $2n$ $Z$

(i) Det finns oberoende integraler av rörelse . Deras plana ytor (invarianta undergrenrör) bildar ett fiberrör över en ansluten öppen undergrupp . $k>n$ $F_{i}$ $F:Z\to N=F(Z)$ ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k))$

(ii) Det finns jämna reella funktioner på så att Poisson-parenteserna för rörelseintegralerna har formen . ${\displaystyle s_{ij))$ $N$ $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$

(iii) Matrisen har konstant corrank på . ${\displaystyle s_{ij))$ $m=2n-k$ $N$

Om , då är detta fallet med ett helt integrerat Hamiltonian-system. Mishchenko-Fomenko-satsen för superintegrerbara Hamilton-system generaliserar Liouville-Arnolds satser om aktionsvinkelvariabler på följande sätt . $k=n$

Låt invarianta undergrenar av ett superintegrerbart Hamiltonian-system vara sammankopplade, kompakta och ömsesidigt diffeomorfa. Då är ett fiberrör ett toriknippe . För sin givna fiber finns det dess öppna grannskap , som är en trivial bunt, utrustad med lager-för-lager generaliserade aktionsvinkelkoordinater , , , sådana som är koordinater på . Dessa koordinater är de kanoniska koordinaterna på det symplektiska grenröret . Dessutom beror Hamiltonian för det superintegrerbara systemet endast på handlingsvariablerna , som är Casimir-funktionerna för den coinducerade Poisson-strukturen på . $F$ ${\displaystyle T^{m))$ $M$ $U$ $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$ $A=1,\ldots ,m$ $i=1,\ldots ,nm$ $(\phi ^{A})$ ${\displaystyle T^{m))$ $U$ $I_{A}$ $F(U)$

Liouville-Arnold-satsen för helt integrerbara system och Mishchenko-Fomenko-satsen för superintegrerbara system har generaliserats till fallet med icke-kompakta invarianta undergrenar. De är diffeomorfa till toroidformade cylindrar . ${\displaystyle T^{mr}\times \mathbb {R} ^{r))$

Litteratur

Mishchenko, A., Fomenko, A. , Generaliserad Liouville-metod för integration av Hamiltonska system, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
Bolsinov, A., Jovanovic, B. , Icke-kommutativ integrerbarhet, momentkarta och geodetiska flöden, Ann. global anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv : math-ph/0109031 .
Fasso, F. , Superintegrerbara Hamiltonska system: geometri och tillämpningar, Acta Appl. Matematik. 87 (2005) 93.
Fiorani, E. , Sardanashvily, G. , Globala aktionsvinkelkoordinater för helt integrerbara system med icke-kompakta invarianta grenrör, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv : math/0610790 .
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Geometriska metoder i klassisk och kvantmekanik (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8 ; arXiv: 1303.5363 (nedlänk) .

Superintegrerbart Hamiltonian-system

Litteratur

Se även