Poisson fäste

Poisson-parenteser [1] (även möjligen Poisson-parenteser [2] och Lie-parenteser ) är en operatör som spelar en central roll i att bestämma tidsutvecklingen för ett dynamiskt system . Denna operation är uppkallad efter S.-D. Poisson . Anses av S. Poisson 1809 [3] , sedan glömd och återupptäckt av Carl Jacobi .

Poisson-parenteser av vektorfält

Låt och vara vektorfält på ett jämnt grenrör , var operatorn för Lie-derivatan med avseende på vektorfältets riktning . Operatörskommutatorn är en differentialoperator av första ordningen , så det finns ett vektorfält för vilket [4] [Noter 1] $v$ $u$ $M$ $L_{v}$ $v$ $L_{v}$ $L_{u}$ $[v,u]$

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Komponenterna i vektorfältet i ett godtyckligt koordinatsystem uttrycks i termer av komponenterna och med formeln $[v,u]$ $v$ $u$

$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Fältet är alltså inte beroende av det koordinatsystem som används i formeln. $[v,u]$ $(x_{1},...,x_{n}),$

Detta vektorfält kallas kommutator , Lie-parenteser eller Poisson-parenteser för de två vektorfälten. Explicit uttryck för parentes Lie-fält:

[v,u]=L_{v}u-L_{u}v

I den holonomiska grunden tar det formen

[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }

Exempel

Låt vara gruppen av diffeomorfismer av mångfalden . Var är då Poisson-fästet och är skillnaden i gruppens identitet. Symbolen anger bilden av elementet . $G=\mathrm {Diff} (M)$ $M$ $\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$ ${\displaystyle \{v,w\))$ $\mathrm {ad}$ $\mathrm {Annons}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v))$ $v$

Låt vara en kurva som går ut med initial hastighet och låt vara samma kurva med initial hastighet $t\mapsto g(t)$ $k$ ${\dot {g}}=m,$ $s\mapsto h(s)$ $h'=\omega .$

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o( t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

på $t,s\rightarrow 0.$

Egenskaper

Alla utom de två sista bevisas av en enkel beräkning.

Linjäritet : är en funktion oberoende avoch. ${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$ $u$ $v$
Antikommutativitet : ${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$
${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}u,u{\Big ]}=0$
${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\ Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t)){\Big ]}$
${\Big [}w,c{\Big ]}=0$
${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}w,u(v_{1},\ldots,v_{k}){\Big ]}=\summa _{{l=1}}^{k}{\cfrac {\partial u} {\partial v_{l))}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$
Jacobi identitet : ${\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ] }+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$
Kommuteringsoperationen ställer in Lie-algebras struktur på uppsättningen vektorfält .

Poisson-parenteser av funktioner

Låt vara en symbolisk mångfald . Den symplektiska strukturen på tillåter introduktion på uppsättningen funktioner för driften av Poisson-parenteser , betecknade med eller och ges av regeln [1] [Noter 2] $M$ $\omega$ $M$ $M$ $\{\cdot ,\cdot \}$ $[\cdot ,\cdot]$

[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({ \mathbf F},{\mathbf G})

där (också ) är vektorfältet som motsvarar Hamilton-funktionen . Den definieras i termer av funktionsdifferentialen och isomorfismen mellan 1-former och vektorer som ges av den (icke-degenererade) formen . Nämligen för vilket vektorfält som helst $\mathbf {F}$ $IdF$ $F$ $F$ $\omega$ ${\mathbf v}$

dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def))}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})

Lie-algebra för Hamiltonska funktioner

På grund av snedsymmetri och bilinjäritet kommer Poisson-fästet också att vara snedsymmetrisk och bilinjär: $\omega$

[F,G]=-[G,F]

[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]

Uttryck

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]

är en linjär funktion av andraderivatan av var och en av funktionerna . i alla fall $F, G, H$

{\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H ]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\ \\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\right)F\end{array}}

Detta uttryck innehåller inte andraderivator . På samma sätt innehåller den inte andraderivator och , och därför $F$ $G$ $H$

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0

det vill säga, Poisson-parenteserna tillfredsställer Jacobi-identiteten . Således tillåter Poisson-parenteser en att introducera strukturen för en Lie-algebra på uppsättningen funktioner . Det följer av Jacobi-identiteten att för vilken funktion som helst $M$ $H$

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H

det är

Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]

— Funktionen att konstruera ett Hamiltonskt vektorfält från en funktion definierar en homomorfism av Lie-algebra av funktioner till Lie-algebra av vektorfält.

Egenskaper

Poisson-fästen är icke- degenererade :

\forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0

Poisson-parenteserna tillfredsställer Leibniz-identiteten :

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

En funktion är den första integralen för ett Hamiltonian-system med en Hamiltonian om och endast om $F$ $H$ $[F,H]=0$
Poisson-parentesen för de två första integralerna i systemet är återigen den första integralen (en konsekvens av Jacobi-identiteten).
Betrakta utvecklingen av ett Hamiltonskt system med en Hamiltonsk funktion given på ett grenrör . Den totala tidsderivatan av en godtycklig funktion kan skrivas som $H$ $M$ $f\colon M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

{\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot q}{\frac {\partial f} {\partial q))+{\dot p}{\frac {\partial f}{\partial p))=\\&{\frac {\partial f}{\partial t))+L_{({\ mathbf H))}f=\\&{\frac {\partial }{\partial t))f+[H,f]\end{array))

I kanoniska koordinater har Poisson-parenteser formen [Noter 3] $(q_{i},p_{j})$

[f,g]=\summa _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial g}{ \partial q^{i))}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i))}{\frac {\partial g}{\partial p_{i))}\right)

[5]

Filosofisk betydelse

Poisson-parenteser har spelat en viktig heuristisk roll i skapandet av kvantmekaniken genom den klassiska analogin mellan klassiska och kvant-Poisson-parenteser. [6] [7] [8] [9]

Anteckningar

↑ Vissa författare [Arnold] använder definitionen med motsatt tecken, vilket också ändrar tecknet i definitionen av Poisson-parenteserna av funktioner (se nedan). Detta tillvägagångssätt dikteras, tydligen, av önskan att bevara både de naturliga geometriska definitionerna av Hamiltonska fält och deras egenskaper, och den traditionella formen att skriva Poisson-parenteser i koordinater. Detta förstör dock den naturliga symmetrin mellan kommutatorerna för Lie-derivator, vektorer och funktioner. Ytterligare problem uppstår när man går över till de allmänna begreppen differentialgeometri (former, vektorvärderade former, olika härledningar), där frånvaron av denna symmetri i onödan komplicerar formlerna. Därför kommer andra definitioner att användas i denna artikel, med reservationer.
↑ I vissa böcker [Arnold] används en definition med det motsatta tecknet, nämligen Samtidigt definieras kommutatorn för vektorfält också med det motsatta tecknet (se ovan), och uttrycket för Poisson-parentesen i koordinater tar traditionell form, men ett extra minus visas i uttrycket och formeln för fältväxeln. $[F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ dF({\mathbf G})={-L_{{{\mathbf F}}}G.}$ $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}$
↑ I [Arnold], [Gantmacher] har uttrycket motsatt tecken (liknande ovanstående anmärkningar). Traditionellt skrivs uttrycket som i [Gantmacher].

Litteratur

↑ 1 2 Gantmakher F. R. föreläsningar om analytisk mekanik: Lärobok för universitet / Ed. E. S. Pyatnitsky. - 3:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 264 sid. — ISBN 5-9221-0067-X .
↑ Arnold V. I. Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
↑ Poisson SD Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les question de Mechanique. - Journ. Politechn. 1809 t. VIII, sid. 266-344
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Naturliga operationer i differentialgeometri Arkiverad 6 juli 2020 på Wayback Machine , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0- 387-56235-4 .
↑ Landau L. D, Lifshitz E. M. Theoretical Physics. Volym 1. / Doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper L.P. Pitaevsky. - 5:a. - FIZMATLIT, 2004. - S. 176-179. - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Dirac P A M "Basic Equations of Quantum Mechanics" Arkivexemplar av 2 maj 2021 på Wayback Machine UFN 122 611–621 (1977)
↑ Dirac P.A.M. Minnen från en extraordinär era. - M., Nauka, 1990. - sid. 20-21
↑ Dirac P. A. M. Kvantmekanikens principer. - M., Fizmatlit, 1960. - sid. 125-130
↑ Razumovsky O. S. Poisson-parenteser som metod // Yanenko N. N. , Preobrazhensky N. G., Razumovsky O. S. Methodological problems of matematisk fysik. - Novosibirsk, Nauka, 1986. - sid. 246-263