Kanoniska koordinater

Kanoniska koordinater är oberoende parametrar i den klassiska mekanikens Hamiltonska formalism . De betecknas vanligtvis som och . $q_{i}$ $pi}$

De kanoniska koordinaterna uppfyller de grundläggande relationerna uttryckta i termer av Poisson-parenteser :

\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}

Kanoniska koordinater kan erhållas från generaliserade lagrangiska koordinater med Legendre-transformationer , eller från en annan uppsättning kanoniska koordinater med kanoniska transformationer . Om Hamiltonian definieras på cotangensbunten, är de generaliserade koordinaterna relaterade till de kanoniska koordinaterna med hjälp av Hamilton-Jacobi-ekvationerna .

Även om det kan finnas många alternativ för att välja de kanoniska koordinaterna för ett fysiskt system, väljs vanligtvis parametrar som är bekväma för att beskriva systemets konfiguration och som förenklar lösningen av Hamiltons ekvationer.

Liknande begrepp används också i kvantmekaniken , se Stone-von Neumann-satsen och kanoniska kommutationsförhållanden .

Generalisering

Eftersom Hamiltons mekanik matematiskt är en symplektisk geometri , är kanoniska transformationer ett specialfall av kontakttransformationer .

Kanoniska koordinater definieras som en speciell uppsättning koordinater på en grenrörs cotangensbunt . De skrivs vanligtvis som en mängd eller , där bokstaven x eller q betecknar koordinater på grenröret, och bokstaven p betecknar det konjugerade momentet , som är en kovariant vektor vid punkten q i grenröret. $(q^{i},p_{j})$ $(x^i,p_j)$

Den vanliga definitionen av kanoniska koordinater är ett koordinatsystem på cotangensbunten, där den kanoniska 1-formen skrivs som

\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i

upp till tillägg av en total differential. En förändring av koordinater som bevarar denna typ är en kanonisk transformation . Detta är ett specialfall av symplectomorphism , som i huvudsak är en förändring av koordinater på en symplectic manifold .

Formell studie

Givet ett reellt grenrör Q , då kan vektorfältet X på Q (eller, ekvivalent, en sektion av tangentknippet TQ ) betraktas som en funktion som verkar på cotangensknippet , på grund av tangentens dualitet och kotangenta utrymmen. Det är funktionen

P_X:T^*Q\to \mathbb{R}

Så att

P_X(q,p)=p(X_q)

håller alla kotangensvektorer p i . Här är en vektor i , tangentutrymmet för grenröret Q i punkten q . Funktionen kallas momentfunktionen som motsvarar X. $T_q^*Q$ $X_q$ $T_qQ$ $P_X$

I lokala koordinater kan vektorfältet X vid q skrivas som

X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}

var är koordinatsystemet i TQ. Det konjugerade momentet uttrycks sedan som $\partial /\partial q^i$

P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i

där definieras som funktioner av momentet som motsvarar vektorerna : $pi}$ $\partial /\partial q^i$

p_i = P_{\partial /\partial q^i}

$q^{i}$ bildar tillsammans ett koordinatsystem på cotangensbunten . Dessa koordinater kallas kanoniska koordinater . $p_{j}$ $T^*Q$

Litteratur

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Klassisk mekanik. — 3:a. - San Francisco: Addison Wesley, 2002. - s. 347-349. - ISBN 0-201-65702-3 .
Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .