Kanonisk konvertering

I Hamiltonsk mekanik är en kanonisk transformation (även en kontakttransformation ) en transformation av kanoniska variabler som inte ändrar den allmänna formen av Hamiltonian-ekvationerna för någon Hamiltonian. Kanoniska transformationer kan också införas i kvantfallet, eftersom de inte ändrar formen på Heisenbergsekvationerna . De gör det möjligt att reducera ett problem med en viss Hamiltonian till ett problem med en enklare Hamiltonian i både det klassiska och kvantfallet. Kanoniska transformationer bildar gruppen .

Definition

Transformationer

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

j=1,\ldots ,s,

, var är antalet frihetsgrader ,

s

{\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots,q_ {s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,

sägs vara kanonisk om denna transformation översätter Hamiltons ekvationer med Hamiltons funktion : $H$

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},

{\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},

in i Hamiltons ekvationer med Hamiltonfunktionen : ${\mathcal {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.

Variablerna och kallas nya koordinater respektive momenta, medan och kallas gamla koordinater och momentum. $Q_{i}$ $Pi}$ $q_{i}$ $pi}$

Genererar funktioner

Från invariansen av Poincaré-Cartan-integralen och Lee Hua-chungs teorem om dess unika, kan man få:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

där konstanten kallas valensen för den kanoniska transformationen, är den totala differentialen för någon funktion (det antas att och uttrycks också i termer av de gamla variablerna). Det kallas den genererande funktionen för den kanoniska transformationen. Kanoniska transformationer bestäms en-till-en av genereringsfunktionen och valensen. $c\neq 0$ $dF$ $F(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t)$ $Pi}$ $Q_{i}$

Kanoniska transformationer för vilka kallas univalenta . Eftersom de olika för en given genererande funktion ändrar uttrycken för nya koordinater genom de gamla, och även för Hamiltonianen endast genom en konstant, beaktas ofta endast univalenta kanoniska transformationer. $c=1$ $c$

Den genererande funktionen kan ofta uttryckas inte i termer av de gamla koordinaterna och momentan, utan i termer av två av de fyra variablerna , och valet är oberoende för varje . Det visar sig vara bekvämt att uttrycka det på ett sådant sätt att för varje variabel är ny och den andra är gammal. Det finns ett lemma som säger att detta alltid kan göras. En funktions differential har en explicit form av en total differential när den uttrycks i termer av gamla och nya koordinater . När man använder andra koordinatpar är det praktiskt att gå vidare till funktioner vars differential kommer att ha en explicit form av den totala differentialen för motsvarande variabler. För att göra detta måste du göra Legendre-transformationer av den ursprungliga funktionen . De resulterande funktionerna kallas genereringsfunktionerna för den kanoniska transformationen i motsvarande koordinater. I fallet när valet av koordinater är detsamma för alla , finns det fyra alternativ för att välja variabler, motsvarande funktioner betecknas vanligtvis med siffror: ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i))$ $i=1,\cdots ,s$ $i$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $i$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

där, för enkelhetens skull, vektorerna för de gamla koordinaterna och momentan , , introduceras, och på liknande sätt för de nya koordinaterna och momenta. Sådana genereringsfunktioner hänvisas till som genereringsfunktioner av den 1:a, 2:a, 3:e respektive 4:e typen. $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$

Genererande funktion av den första typen

Låta vara en godtycklig icke-degenererad funktion av gamla koordinater, nya koordinater och tid: $F_{1}(q,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,

dessutom ges ett visst antal , då definierar paret en kanonisk transformation enligt regeln $c\neq 0$ $(F_{1},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q)),

P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.

Anslutning till den ursprungliga genereringsfunktionen:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

Den kanoniska transformationen kan erhållas med en funktion så här om Jacobian är icke-noll :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p))\right)\neq 0.

Kanoniska transformationer kompletterade med detta villkor kallas fria .

Genererande funktion av den andra typen

Låt vara en godtycklig icke-degenererad funktion av gamla koordinater, nya impulser och tid: $F_{2}(q,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.

dessutom ges ett visst antal , då definierar paret en kanonisk transformation enligt regeln $c\neq 0$ $(F_{2},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q)),

Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.

Anslutning till den ursprungliga genereringsfunktionen:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

Den kanoniska transformationen kan erhållas med en funktion så här om Jacobian är icke-noll :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial p))\right)\neq 0.

Genererande funktion av den tredje typen

Låt vara en godtycklig icke-degenererad funktion av gamla momenta, nya koordinater och tid: $F_{3}(p,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.

dessutom ges ett visst antal , då definierar paret en kanonisk transformation enligt regeln $c\neq 0$ $(F_{3},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p)),

P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.

Anslutning till den ursprungliga genereringsfunktionen:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

Den kanoniska transformationen kan erhållas med en funktion så här om Jacobian är icke-noll :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q))\right)\neq 0.

Genererande funktion av den fjärde typen

Låt vara en godtycklig icke-degenererad funktion av gamla impulser, nya impulser och tid: $F_{4}(p,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.

dessutom ges ett visst antal , då definierar paret en kanonisk transformation enligt regeln $c\neq 0$ $(F_{4},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p)),

Q={\frac {\partial F_{4)){\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.

Anslutning till den ursprungliga genereringsfunktionen:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

Den kanoniska transformationen kan erhållas med en funktion så här om Jacobian är icke-noll :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.

Exempel

1. Identitetsförvandling

Q=q,

P=p,

{\mathcal {H}}=H

kan erhållas från:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Om du ställer in

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,

då kommer den resulterande transformationen att se ut så här:

Q=\alpha p,

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Således är uppdelningen av kanoniska variabler i koordinater och momenta villkorad ur en matematisk synvinkel.

3. Transformera inversion

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

kan erhållas från:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Punkttransformationer (transformationer där de nya koordinaterna endast uttrycks i termer av de gamla koordinaterna och tiden, men inte de gamla impulserna.)

De kan alltid ställas in med:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

sedan

Q=\varphi(q,t).

I synnerhet om

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

var är en ortogonal matris : $A,$

A^{T}A=E,

sedan

Q=Aq,

P=A^{T}s.

Funktionen leder också till punkttransformationer:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

sedan

q=-\phi (Q,t).

I synnerhet funktionen

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

ställer in övergången från kartesiska till cylindriska koordinater .

5. Linjära transformationer av systemvariabler med en frihetsgrad: $(p,q)$

Q=\alpha q+\beta p

P=\gamma q+\delta p

är en univalent kanonisk transformation för

\alpha \delta -\beta \gamma =1,

genererande funktion:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Sådana transformationer bildar en speciell linjär grupp . $SL(2,\mathbb {R} )$

Åtgärd som genererande funktion

Åtgärd uttryckt som en funktion av slutpunktens koordinater och moment

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

definierar en kanonisk transformation av det Hamiltonska systemet.

Poisson och Lagrange parenteser

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att transformationer ska vara kanoniska kan skrivas med Poisson-parenteser :

\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

Dessutom är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för transformationens kanonicitet uppfyllandet av godtyckliga funktioner och villkoren: $f(Q,P,t)$ $g(Q,P,t)$

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},

var och är Poisson-parenteserna i de gamla respektive nya koordinaterna. ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq))$ ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ))$

I fallet med envärda kanoniska transformationer:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

och Poisson-parenteserna sägs vara oföränderliga under sådana transformationer. Ibland definieras kanoniska transformationer på detta sätt (i detta fall betraktas endast univalenta transformationer som kanoniska transformationer).

På samma sätt kan ett nödvändigt och tillräckligt villkor för transformationers kanonicitet skrivas med Lagrange-parenteser :

[p_{i},p_{k}]=0,

[q_{i},q_{k}]=0,

[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Boken i det elektroniska biblioteket vid Mekhmat vid Moscow State University
Landau L. D., Lifshitz EM §46. Kanoniska transformationer. Kapitel VII. Kanoniska ekvationer. // Mekanik. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 sid. - 3000 exemplar. - ISBN 5-9221-0055-6 . Boken i det elektroniska biblioteket vid Mekhmat vid Moscow State University
Gantmakher F. R. Föreläsningar om analytisk mekanik. 3:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 sid. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II Kurs i teoretisk mekanik för fysiker. 4:e uppl. - St Petersburg. : Lan, 2009. - 576 sid. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .