Hamilton-Jacobis ekvation

Inom fysik och matematik är Hamilton - Jacobis ekvation en ekvation av formen

H\left(q_{1},\dots,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1))},\dots ,{\frac {\partial S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Här betecknar S den klassiska handlingen , är den klassiska Hamiltonian , och är generaliserade koordinater. $H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ $q_{i}$

Direkt relaterad till klassisk (icke-kvantmekanik) är den dock väl lämpad för att etablera en koppling mellan klassisk mekanik och kvantmekanik , eftersom den till exempel kan erhållas nästan direkt från Schrödinger-ekvationen i approximationen av en snabbt oscillerande vågfunktion (stora frekvenser och vågtal).

I klassisk mekanik uppstår det vanligtvis från en speciell kanonisk transformation av den klassiska Hamiltonian , som leder till denna icke-linjära första ordningens differentialekvation , vars lösning beskriver beteendet hos ett dynamiskt system.

Hamilton-Jacobi-ekvationen bör särskiljas från Hamiltons och Euler-Lagranges rörelseekvationer . Även om denna ekvation är härledd från dem, är det en enda ekvation som beskriver dynamiken i ett mekaniskt system med valfritt antal frihetsgrader s , i motsats till 2 s Hamilton-ekvationerna och s Euler-Lagrange-ekvationerna.

Hamilton-Jacobis ekvation hjälper till att lösa Keplerproblemet på ett elegant sätt .

Kanonisk konvertering

Hamilton-Jacobi-ekvationen följer omedelbart av det faktum att för varje genererande funktion (om man försummar indexen) tar rörelseekvationerna samma form för och under följande transformation: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\partial S}{\partial t)).

De nya rörelseekvationerna blir

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

Hamilton-Jacobis ekvation kommer från en specifik genererande funktion S som gör Hʹ identisk med noll. I det här fallet försvinner alla dess derivat, och

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

Således, i ett primat koordinatsystem, är systemet perfekt stationärt i fasrymden . Vi har dock ännu inte bestämt med vilken genereringsfunktion S transformationen till det primerade koordinatsystemet uppnås. Vi använder det faktum att

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Eftersom ekvation (1) ger , kan vi skriva $p=\partial S/\partial q,$

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

vilket är Hamilton-Jacobis ekvation.

Lösning

Hamilton–Jacobis ekvation löses ofta genom separation av variabler . Låt någon koordinat (för visshetens skull kommer vi att prata om ) och det momentum som motsvarar den ange ekvationen i formen $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1)) }\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2))},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.

Sedan kan du lägga

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

där är en godtycklig konstant, är den inversa funktionen, och lös Hamilton-Jacobis ekvation med färre variabler. Om processen kan fortsätta i alla variabler, kommer lösningen av ekvationen att ta formen $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

där är godtyckliga konstanter, är integrationskonstanten. Kom ihåg att i detta fall är en funktion av slutpunkten . Eftersom handlingen definierar den kanoniska transformationen av det Hamiltonska systemet, är dess derivator med avseende på koordinater momenta i det nya koordinatsystemet, så de måste bevaras: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i))}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{ n},t).

Tillsammans med momentumekvationerna bestämmer detta systemets rörelse.

Dessutom, om i ett holonomiskt system med frihetsgrader har har formenden potentiella energinochformenenerginkinetiskaden [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Se även

Anteckningar

↑ Butenin, 1971 , sid. 167.

Litteratur

Artikel i Physical Encyclopedia
Gantmakher F. R. Föreläsningar om analytisk mekanik . 2:a upplagan - M . : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Fundamentals of Analytical Mechanics . - M .: Högre skola, 1976.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. - 5:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Mekanikens variationsprinciper . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW Classical Mechanics . - M .: Utländsk. litteratur, 1961.
Pavlenko Yu. G. Föreläsningar om teoretisk mekanik. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 sid.
Pars L. A. Analytisk dynamik . — M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Introduktion till analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 sid.