Elementära funktioner

Elementära funktioner är funktioner som kan erhållas med ett ändligt antal aritmetiska operationer och sammansättningar från följande grundläggande elementära funktioner [1] :

potensfunktion med valfri verklig exponent;
exponentiella och logaritmiska funktioner;
trigonometriska och inversa trigonometriska funktioner.

Varje elementär funktion kan definieras av en formel, det vill säga en uppsättning av ett ändligt antal symboler som motsvarar de operationer som används. Alla elementära funktioner är kontinuerliga på sin definitionsdomän.

Ibland inkluderar de grundläggande elementära funktionerna också hyperboliska och inversa hyperboliska funktioner , även om de kan uttryckas i termer av de grundläggande elementära funktionerna som anges ovan.

Elementära funktioner enligt Liouville

Med tanke på funktionerna hos en komplex variabel, definierade Liouville elementära funktioner något bredare. En elementär funktion av en variabel är en analytisk funktion som kan representeras som en algebraisk funktion, dessutom: $y(x)$ $x$ $y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),$

$z_{1}$ är logaritmen eller exponenten för någon algebraisk funktion $g_{1}(x),$
$z_{2}$ är logaritmen eller exponenten för någon algebraisk funktion $g_{2}(x,z_{1}),$

...

${\displaystyle z_{r))$ är logaritmen eller exponenten för någon algebraisk funktion $g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).$

Till exempel är en elementär funktion i denna mening, eftersom det är en algebraisk funktion av exponentialfunktionen $y(x)=\sin(x)$ $e^{ix}:$

\sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.

I allmänhet, med hjälp av den angivna identiteten, kan alla trigonometriska och inversa trigonometriska funktioner uttryckas i termer av logaritmer, exponentialer, aritmetiska operationer, såväl som operationen att ta en kvadratrot. Naturligtvis kommer detta att använda den imaginära enheten $i={\sqrt {-1)).$

Funktionen är också elementär, eftersom den kan representeras som: $y(x)=e^{e^{x))$

y(x)=\phi (x,z_{1},z_{2}),

var

z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1)),\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2} .

Utan förlust av generalitet kan funktionerna betraktas som algebraiskt oberoende. Det betyder att den algebraiska relationen bara kan gälla för alla om polynomets koefficienter är lika med noll. $z_{1},\dots ,z_{r}$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})=0$ $x$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})$

Differentiering av elementära funktioner

Derivatan av en elementär funktion är alltid en elementär funktion och kan hittas i ett ändligt antal steg. Nämligen genom regeln om differentiering av en komplex funktion

y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\dots,z_{r})={\frac {\partial \phi}{\partial x}} +\summa \limits _{{i=1}}^{r}{\frac {\partial \phi}{\partial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},

där är lika med eller eller beroende på om logaritmen eller exponenten, etc. I praktiken är det praktiskt att använda tabellen med derivator . $z_{1}'(z)$ $g_{1}'/g_{1}$ $z_{1}g_{1}'$ $z_{1}$

Integration av elementära funktioner

Integralen av en elementär funktion är inte alltid i sig en elementär funktion. De vanligaste funktionerna vars integraler finns samlade i tabellen över integraler . I det allmänna fallet löses problemet med att integrera elementära funktioner av Risch-algoritmen , baserad på Liouvilles teorem:

Liouvilles sats . Om integralen av en elementär funktion i sig är en elementär funktion, kan den representeras som $y=\phi (x,z_{1},\dots z_{r})$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots ,z_{r}(x))\,dx=\summa \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i }(x,z_{1},\dots z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\dots,z_{r})+C,

där finns några komplexa tal och är algebraiska funktioner av deras argument. $A_{i}$ $\psi _{i}$

Liouville baserade beviset för denna sats på följande princip. Om integralen av tas i elementära funktioner, då $y$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\dots z_{s}(x ))+\operatörsnamn {konst}

var är en algebraisk funktion, är logaritmen eller exponenten för en algebraisk funktion , etc. Funktionerna är algebraiskt oberoende och uppfyller något system av differentialekvationer av formen $\psi$ $z_{{r+1}}$ $x,z_{1},\dots z_{r}$ $z_{1},\dots z_{s}$

z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\dots ,z_{s}),\dots

var finns algebraiska funktioner för deras argument. Om är en familj av lösningar av detta system, alltså $\rho _{i}$ $z_{1}=z_{1}(x,C),\dots$

\int \phi (x,z_{1}(x,C),\dots )\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C) )+\operatörsnamn {konst}

var

\psi (x,z_{1}(x),\dots )=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C))+f(C)

För vissa klasser av integraler gör detta teorem det mycket enkelt att studera integrationsproblemets lösbarhet i elementära funktioner.

Integrering av funktioner i formen $p(x)e^{{q(x)}}$

Följd av Liouvilles teorem (Se Ritt, s. 47 och följande). Om integralen

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx,

där är polynom, tas i elementära funktioner, alltså $p,q$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}

där finns också något polynom som uppfyller differentialekvationen $r(x)$

r'+q'(x)r=p(x)

Exempel . I synnerhet integralen

\int e^{{x^{2}}}\,dx

tas inte på grund av substitutionen

r=Ax^{n}+\dots \quad (A\not =0)

in i ekvationen

r'+2xr=1

ger . Integralen $A=0$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx

tagit pga

r'+2xr=x

har en lösning . Samtidigt såklart $r=1/2$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx={\frac {e^{{x^{2}}}}{2}}+\operatörsnamn {const}

Bevis på följden . Enligt Liouvilles sats

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,e^{{q(x)}})+\summa A_{i}\ln \ psi _{i}(x,e^{{q(x)}})+\operatörsnamn {const}

Då har vi, i kraft av Liouville-principen, för en godtycklig konstant $C$

\int p(x)Ce^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{{q(x)}})+\summa A_{i}\ln \ psi _{i}(x,Ce^{{q(x)}})+f(C)

Genom att differentiera med avseende på och anta ser vi att integralen uttrycks algebraiskt i termer av , d.v.s. $C$ $C=1$ $x,e^{{q(x)}}$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi (x,e^{{q(x)}}).

Vi har återigen tillämpat Liouville-principen

C\psi (x,e^{{q(x)}})=\psi (x,Ce^{{q(x)}})+f(C).

Att differentiera med avseende på och anta , har vi $C$ $C=1$

\psi (x,z)=z{\frac {\partial \psi (x,z)}{\partial z))+B\quad (B=\operatörsnamn {const})

för , och därmed på grund av det algebraiska oberoendet av , för alla . Det är därför $z=e^{{q(x)}}$ $x,e^{{q(x)}}$ $x,z$

\psi(x,z)=-B+zr(x),

var finns någon algebraisk funktion . På det här sättet, $r$ $x$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}+\operatörsnamn {const},

Eftersom själva integralen uppenbarligen är en hel funktion , då är den ett polynom. Konsekvensen är bevisad. $x$ $r$

Integration av algebraiska funktioner

Den svåraste var frågan om integrering i elementära funktioner av algebraiska funktioner, det vill säga att ta Abeliska integraler , som är föremål för omfattande studier av Weierstrass , Ptashitzky [2] och Risch [3] .

Liouvilles teorem är grunden för att skapa algoritmer för symbolisk integration av elementära funktioner, implementerade till exempel i Maple .

Se även: Lista över integraler av elementära funktioner

Beräkning av gränser

Liouvilles teori sträcker sig inte till beräkningen av gränser . Det är inte känt om det finns en algoritm som, givet den sekvens som den elementära formeln ger, ger ett svar, om den har en gräns eller inte. Till exempel är frågan om sekvensen konvergerar öppen . [fyra] ${\frac {1}{n^{3}\sin n}}$

Se även

Differential Galois teori

Anteckningar

↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 113-114..
↑ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Konst. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901)
↑ Davenport J. Integration av algebraiska funktioner. Ch. 4. M., Mir, 1985
↑ Frågor och svar

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Khovansky A. G. Topologisk Galois teori: lösbarhet och olöslighet av ekvationer i slutlig form . Ch. 1. M, 2007
Liouville J. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes (otillgänglig länk) // J. Reine Angew. Matematik. bd. 13, sid. 93-118. (1835)