Principen om minsta handling

Hamiltons princip om minsta verkan , också bara Hamiltons princip (mer exakt, principen om handlingsstationaritet ) är ett sätt att få fram rörelseekvationerna för ett fysiskt system genom att söka efter en stationär (ofta extrem , vanligtvis, i samband med det etablerade tradition att bestämma tecknet på åtgärden , - det minsta) värdet av en speciell funktionell - handlingar . Uppkallad efter William Hamilton , som använde denna princip för att konstruera den så kallade Hamiltonska formalismen i klassisk mekanik .

Principen om handlingens stationaritet är den viktigaste bland familjen av extrema principer . Inte alla fysikaliska system har rörelseekvationer som kan erhållas från denna princip, men alla grundläggande interaktioner lyder den, och därför är denna princip en av nyckelbestämmelserna i modern fysik. De rörelseekvationer som erhålls med dess hjälp kallas Euler-Lagrange-ekvationerna .

Den första formuleringen av principen gavs av P. Maupertuis ( fr. P. Maupertuis ) 1744 , som omedelbart påpekade dess universella karaktär och ansåg att den var tillämplig på optik och mekanik. Från denna princip härledde han lagarna för reflektion och brytning av ljus.

Historik

Även forntida naturfilosofer (till exempel Aristoteles ) antog att "naturen inte gör något förgäves och i alla dess yttringar väljer den kortaste eller lättaste vägen" [1] . Den specifika innebörden av begreppen "kortast" eller "lättast" specificerades dock inte [2] . Claudius Ptolemaios visade att när en ljusstråle reflekteras är dess totala väg den kortaste när reflektionsvinkeln är lika med infallsvinkeln, vilket observeras i praktiken. Han varnade dock för att i fallet med ljusbrytning skulle vägen (den streckade linjen) inte längre vara den kortaste.

Den första variationsprincipen i vetenskapens historia formulerades av Pierre de Fermat 1662, och han hänvisade specifikt till ljusets brytning. Fermat visade att kriteriet i detta fall inte är vägen, utan tiden - strålen bryts i en sådan vinkel att den totala färdtiden är minimal [3] . I modern notation kan Fermats princip skrivas på följande sätt:

T=\int \limits _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\frac {ds}{v}}=\int \limits _{\mathbf {A} }^{ \mathbf {B} }\mu \,ds={\text{min)),

var är mediets brytningsindex . $\mu$

Matematisk forskning och utveckling av Fermats princip utfördes av Christian Huygens [4] , varefter ämnet diskuterades aktivt av 1600-talets största vetenskapsmän. Leibniz introducerade det grundläggande handlingsbegreppet i fysiken 1669 : "Rörelsens formella handlingar är proportionella mot ... produkten av mängden materia, avstånden de färdas och hastigheten."

Parallellt med analysen av mekanikens grunder utvecklades metoder för att lösa variationsproblem. Isaac Newton i sin " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) satte och löste det första variationsproblemet: att hitta en sådan form av en revolutionskropp som rör sig i ett motståndskraftigt medium längs dess axel, för vilket motståndet skulle vara det minsta. . Nästan samtidigt uppträdde andra variationsproblem: problemet med brachistochrone (1696), formen på kontaktledningen , etc.

De avgörande händelserna ägde rum 1744. Leonhard Euler publicerade det första allmänna arbetet om variationskalkylen ("En metod för att hitta kurvor som har egenskaperna för ett maximum eller minimum"), och Pierre-Louis de Maupertuis , i sin avhandling "Avhandling av olika naturlagar , som hittills verkade oförenlig" gav den första formuleringen av principen om minsta handling: "Vägen som följs av ljuset är den väg för vilken mängden handling kommer att vara den minsta." Han visade uppfyllelsen av denna lag för både reflektion och brytning av ljus. Som svar på en artikel av Maupertuis publicerade Euler (samma år 1744) verket "On the determination of the motion of thrown bodies in a non-resisting medium by the method of maxima and minima", och i detta arbete gav han Maupertuis-principen är en allmän mekanisk karaktär: "Eftersom alla naturfenomen följer vissa lagar om maximum eller minimum, råder det ingen tvekan om att för krökta linjer som beskriver kastade kroppar, när några krafter verkar på dem, tar någon egenskap av maximum eller minimum plats. Vidare formulerade Euler denna lag: kroppens bana gör ett minimum . Han tillämpade det sedan och härledde rörelselagarna i ett enhetligt gravitationsfält, och i flera andra fall. $\int mv\,ds$

År 1746 instämde Maupertuis i ett nytt verk i Eulers åsikt och proklamerade den mest allmänna versionen av hans princip: ”När en viss förändring inträffar i naturen, är mängden av åtgärder som krävs för denna förändring den minsta möjliga. Mängden verkan är produkten av kropparnas massa, deras hastighet och avståndet de tillryggalägger. I den breda diskussion som följde stödde Euler Maupertuis prioritet och argumenterade för den nya lagens universella karaktär: "all dynamik och hydrodynamik kan avslöjas med förvånande lätthet med hjälp av metoden maxima och minima enbart."

Ett nytt skede började 1760-1761, när Joseph Louis Lagrange introducerade det strikta konceptet med variation av en funktion, gav variationskalkylen ett modernt utseende och utvidgade principen om minsta verkan till ett godtyckligt mekaniskt system (det vill säga inte bara till gratis materialpoäng ). Detta markerade början på analytisk mekanik. En ytterligare generalisering av principen utfördes av Carl Gustav Jacob Jacobi 1837 - han ansåg problemet geometriskt, som att hitta extremerna av ett variationsproblem i ett konfigurationsrum med en icke-euklidisk metrik. Jacobi påpekade särskilt att i frånvaro av yttre krafter är systemets bana en geodetisk linje i konfigurationsutrymmet.

1834-1835 publicerade William Rowan Hamilton en ännu mer allmän variationsprincip, från vilken alla tidigare följde som specialfall:

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L{\big (}\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t{\big )}\,dt=0.

Här är Lagrangian av det dynamiska systemet, och är de generaliserade koordinaterna . Hamilton lade denna princip till grund för sin " hamiltonska mekanik " och gav lösningen på variationsproblemet i form av " kanoniska ekvationer ". $L$ $q$

Hamiltons tillvägagångssätt visade sig vara mångsidigt och mycket effektivt i matematiska modeller av fysik, särskilt för kvantmekanik . Dess heuristiska styrka bekräftades i skapandet av den allmänna relativitetsteorin , när David Hilbert tillämpade Hamiltons princip för att härleda de slutliga ekvationerna av gravitationsfältet (1915).

I klassisk mekanik

Principen om minsta verkan tjänar som den grundläggande och standardmässiga grunden för mekanikens lagrangska och hamiltonska formuleringar.

Låt oss först överväga konstruktionen av Lagrangian mekanik på detta sätt . Med hjälp av exemplet med ett fysiskt system med en [5] frihetsgrad , minns vi att handlingen är en funktionell med avseende på (generaliserade) koordinater (i fallet med en frihetsgrad - en koordinat ), det vill säga det är uttrycks igenom så att varje tänkbar version av funktionen är associerad med ett visst tal - handling (i denna mening kan vi säga att en handling som en funktionell är en regel som gör att varje given funktion kan beräkna ett väldefinierat tal - även kallas en åtgärd). Handlingen ser ut som $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$

S[q]=\int {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\dot {q}}(t),t{\big )}\,dt,

där är Lagrangian av systemet beroende på den generaliserade koordinaten , dess första derivata med avseende på tid , och även, möjligen, uttryckligen på tid . Om systemet har fler frihetsgrader beror Lagrangian på ett större antal generaliserade koordinater och deras förstagångsderivat. Således är handlingen en skalär funktion beroende på kroppens bana. ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\dot {q}}(t),t{\big )))$ $q$ ${\dot {q}}$ $t$ $n$ $q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n$

Det faktum att handlingen är en skalär gör det enkelt att skriva det i alla generaliserade koordinater, huvudsaken är att systemets position (konfiguration) är unikt karakteriserad av dem (till exempel, istället för kartesiska koordinater, kan dessa vara polära koordinater , avstånd mellan punkter i systemet, vinklar eller deras funktioner, etc. d.).

Handlingen kan beräknas för en helt godtycklig bana , hur "vild" och "onaturlig" den än kan vara. Men i klassisk mekanik , bland hela uppsättningen av möjliga banor, finns det bara en längs vilken kroppen faktiskt kommer att gå. Principen om handlingens stationaritet ger bara svaret på frågan om hur kroppen faktiskt kommer att röra sig: $q(t)$

Mellan två givna punkter rör sig kroppen så att handlingen är stillastående.

Detta betyder att om systemets Lagrangian är given, kan vi med hjälp av variationskalkylen fastställa exakt hur kroppen kommer att röra sig, först erhålla rörelseekvationerna - Euler-Lagrange-ekvationerna och sedan lösa dem. Detta gör det möjligt att inte bara generalisera formuleringen av mekanik på allvar, utan också att välja de mest bekväma koordinaterna för varje specifikt problem, inte begränsat till kartesiska, vilket kan vara mycket användbart för att erhålla de enklaste och lättast lösa ekvationerna.

På liknande sätt erhålls Hamiltons mekanik från principen om minsta verkan. Handlingen i detta fall skrivs mest naturligt [6] som

S[p,q]=\int {\Big (}\summa _{i}p_{i}\,dq_{i}-{\mathcal {H))(q,p,t)\, dt{\Big )}=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t) {\Big )}\,dt,

var är Hamilton-funktionen för det givna systemet; - (generaliserade) koordinater, - konjugera (generaliserade) impulser, som tillsammans vid varje givet tidpunkt karaktäriserar systemets dynamiska tillstånd och, var och en en funktion av tiden, karaktäriserar således systemets utveckling (rörelse). I det här fallet, för att få systemets rörelseekvationer i form av kanoniska Hamilton-ekvationer, är det nödvändigt att variera handlingen skriven på detta sätt oberoende för alla och . ${\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1}, p_{2},\dots ,p_{N},t)$ $q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$ $p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}$ $q_{i}$ $pi}$

Det bör noteras att om det i grunden är möjligt att hitta rörelselagen utifrån problemets villkor, så betyder det inte automatiskt att det är möjligt att konstruera en funktion som tar ett stationärt värde under sann rörelse. Ett exempel är den gemensamma rörelsen av elektriska laddningar och monopoler - magnetiska laddningar - i ett elektromagnetiskt fält . Deras rörelseekvationer kan inte härledas från principen om handlingens stationaritet. På liknande sätt har vissa Hamiltonska system rörelseekvationer som inte härrör från denna princip .

Exempel

Triviala exempel hjälper till att utvärdera användningen av driftsprincipen genom Euler-Lagrange-ekvationerna. En fri partikel (massa m och hastighet v ) rör sig i en rät linje i det euklidiska rummet . Med Euler-Lagrange-ekvationerna kan detta visas i polära koordinater enligt följande. I frånvaro av potential är Lagrange-funktionen helt enkelt lika med den kinetiska energin

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}} ^{2})

i ett ortogonalt koordinatsystem . $(x, y)$

I polära koordinater blir den kinetiska energin och därmed Lagrange-funktionen $(r,\varphi)$

L={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}).

Ekvationernas radiella och vinkelkomponenter blir respektive:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r))))\right)-{\frac {\partial L}{\ partiell r}}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0,

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi ))))\right)-{\frac {\partial L}{ \partial \varphi }}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0 .

Lösning av dessa två ekvationer:

r\cos \varphi =at+b,

r\sin \varphi =ct+d,

med konstanterna a , b , c , d bestämda av initiala förhållanden . Således är lösningen verkligen en rät linje som ges i polära koordinater.

I kontinuummekanik och klassisk fältteori

Handlingsbegreppet introduceras på liknande sätt i kontinuummekanik och klassisk fältteori. I dem inkluderar handlingen integralen av den lagrangiska densiteten , som beror på parametrarna för mediet (fältet) vid varje punkt i rymden och deras derivator med avseende på rumsliga koordinater och tid. De rörelseekvationer som erhålls genom att variera handlingen blir partiella differentialekvationer.

Principen om handlingsstationaritet visade sig vara ett av de enklaste sätten att säkerställa den relativistiska invariansen av rörelseekvationerna - för detta räcker det att den lagrangiska densiteten är en skalär (invariant) under transformationer av referenssystemet , till exempel , Lorentz transformationer . På grund av detta har principens roll ökat avsevärt i den relativistiska fysiken. I synnerhet hänvisar Noethers teorem , som bestämmer de bevarade kvantiteterna i den tidsmässiga utvecklingen av fältsystem, specifikt till lagrangiska system.

Det bör noteras att tillämpningen av principen om handlingsstationaritet på teorin om mätfält (till exempel på elektrodynamik) ibland stöter på vissa specifika problem, dock lösbara.

I kvantmekaniken

Inom kvantmekaniken krävs det enligt Köpenhamnstolkningen inte att veta exakt hur en partikel rör sig. Dessutom säger Feynmans formulering att:

partikeln rör sig från initialtillståndet till sluttillståndet på en gång längs alla tänkbara banor (av vilka det uppenbarligen finns ett oändligt antal). Amplituden för sannolikheten för övergång från ett givet tillstånd till ett annat är summan av amplituderna för alla dessa banor och skrivs som en funktionell integral

\psi =\int [Dx]\,e^{iS[x]/\hbar }.

Här är en villkorlig notation av oändlig funktionell integration över alla banor x ( t ), och är Plancks konstant . Vi betonar att handlingen i exponenten i princip uppträder (eller kan uppträda) av sig själv, när man studerar evolutionsoperatorn i kvantmekanik, men för system som har en exakt klassisk (icke-kvant) analog är den exakt lika till den vanliga klassiska handlingen. $\int[dx]$ $\hbar$

Matematisk analys av detta uttryck i den klassiska gränsen - för tillräckligt stor , det vill säga för mycket snabba svängningar av den imaginära exponenten, visar att den stora majoriteten av alla möjliga banor i denna integral tar bort varandra i gränsen (formellt, vid ) . För nästan vilken väg som helst finns det en väg på vilken fasingreppet kommer att vara exakt motsatt, och de kommer att summera till noll bidrag. Endast de banor för vilka åtgärden är nära extremvärdet (för de flesta system, minimum) reduceras inte. Detta är ett rent matematiskt faktum från funktionsteorin för en komplex variabel ; till exempel är den stationära fasmetoden baserad på den . $S/\hbar$ $S/\hbar \to \infty$

Som ett resultat rör sig partikeln, i full överensstämmelse med kvantmekanikens lagar, samtidigt längs alla banor, men under normala förhållanden bidrar endast banor som är nära stationära (det vill säga klassiska) till de observerade värdena. Eftersom kvantmekaniken övergår till klassisk mekanik i gränsen för höga energier, kan vi anta att detta är en kvantmekanisk härledning av den klassiska principen om handlingsstationaritet .

Upptäckten av formuleringen av kvantisering i termer av funktionella integraler (som ofta också sägs: "vägintegraler", " vägintegraler " eller "sammanställning av berättelser"), såväl som att fastställa dess samband med den klassiska gränsen, tillhör Richard Feynman , som kreativt utvecklade idén om Paul Dirac .

Schrödinger-ekvationen kan erhållas [7] från principen om minsta handling, betraktad som Euler-ekvationen

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{k=0}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{k))}\right)))=0

variationsproblem där densiteten hos Lagrangian har formen

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi

I kvantfältteori

Inom kvantfältteorin tillämpas även principen om handlingsstationaritet framgångsrikt. Den lagrangiska densiteten inkluderar här operatorerna för motsvarande kvantfält. Även om det är mer korrekt här (med undantag för den klassiska gränsen och delvis semiklassisk) att inte tala om principen om handlingens stationaritet, utan om Feynman-integrering över banor i konfigurationen eller fasrummet för dessa fält - med hjälp av den lagrangiska densiteten nyss nämnt.

Ytterligare generaliseringar

Mer allmänt förstås en handling som en funktion som definierar en mappning från konfigurationsutrymmet till mängden reella tal och i allmänhet behöver den inte vara en integral, eftersom icke-lokala åtgärder i princip är möjliga, åtminstone teoretiskt sett. Dessutom är ett konfigurationsutrymme inte nödvändigtvis ett funktionsutrymme , eftersom det kan ha en icke-kommutativ geometri .

Anteckningar

↑ Euler L. Avhandling om principen om minsta handling, med analys av invändningarna från den mest kända prof. Koenig, framförd mot denna princip // Variationsprinciper för mekanik. - M. : Fizmatgiz , 1959. - S. 96-108.
↑ Rumyantsev, 1988 , sid. 181.
↑ Fermat P. Syntes för refraktion // Variationsprinciper för mekanik. - M . : Fizmatgiz , 1959. - S. 6-10.
↑ Huygens X. Avhandling om ljus. - M. - L .: Gostekhizdat , 1935. - 172 sid.
↑ För ett system med många frihetsgrader skrivs allt på liknande sätt, bara istället för en generaliserad koordinat används flera (eller till och med - för oändligt dimensionella system - ett oändligt antal) generaliserade koordinater . Ett exempel på ett system med en frihetsgrad övervägs först för enkelhetens skull. $q$ $q_{1},q_{2},\dots$
↑ Den här gången ges ett icke-endimensionellt exempel.
↑ Kushnirenko, 1971 , sid. 38.

Litteratur

Berdichevsky VL Variationsprinciper för kontinuummekanik. — M .: Nauka , 1983. — 448 sid.
Mekanikens variationsprinciper. lö. artiklar av vetenskapsklassiker / Ed. L. S. Polak . - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 sid.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Metod för variabel verkan. 2:a uppl . - M. : Fizmatlit, 2005. - 272 sid. — ISBN 5-9221-0569-8 .
Gantmakher F. R. Föreläsningar om analytisk mekanik. 2:a uppl . — M .: Nauka , 1966. — 300 sid.
Dobronravov VV Fundamentals of Analytical Mechanics . - M . : Högre skola, 1976. - 264 sid.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988 . — 215 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988 . — 512 sid. - ("Teoretisk fysik", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Lanczos K. Mekanikens variationsprinciper . — M .: Mir, 1965. — 408 sid.
Leach JW Classical Mechanics . - M . : Utländsk. Litteratur, 1961. - 174 sid.
Pavlenko Yu. G. Föreläsningar om teoretisk mekanik. — M. : Fizmatlit, 2002. — 392 sid. — ISBN 5-9221-0241-9 .
Pars L. A. Analytisk dynamik . — M .: Nauka , 1971. — 636 sid.
Polak L. S. V. R. Hamilton och principen om handlingens stationaritet. - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1936. - 272 sid.
Rumyantsev VV Leonard Euler och mekanikens variationsprinciper // Utveckling av Leonhard Eulers idéer och modern vetenskap. — M .: Nauka , 1988. — 518 sid. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 180-207.
Feynman R., Hibs A. Kvantmekanik och vägintegraler. Per från engelska. - M. : Mir, 1968. - 384 sid.
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Föreläsningar i fysik. T. 6: Elektrodynamik. Per. från engelska. 3:e uppl. - M . : Redaktionell URSS, 2004. - 352 sid. - ISBN 5-354-00704-6 . — Kapitel 19: Principen om minsta handling.
Kushnirenko AN Introduktion till kvantfältteori. - M . : Högre skola, 1971. - 304 sid.

Se även

Åtgärd (fysisk mängd)