Formulering av kvantteori i termer av vägintegraler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 mars 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Kvantmekanikens vägintegralformulering är en beskrivning av kvantteorin som generaliserar den klassiska mekanikens funktionsprincip . Den ersätter den klassiska definitionen av en enda, unik systembana med en full summa (funktionell integral) över en oändlig uppsättning möjliga banor för att beräkna kvantamplituden. Metodologiskt ligger formuleringen i termer av vägintegralen nära Huygens-Fresnel-principen från klassisk vågteori .

Banintegralformuleringen utvecklades 1948 av Richard Feynman . Vissa preliminära punkter hade utvecklats tidigare när han skrev sin avhandling under John Archibald Wheeler .

Denna formulering var nyckeln till den efterföljande utvecklingen av teoretisk fysik , eftersom den är tydligt symmetrisk i tid och rum (Lorentz-kovariant). Till skillnad från tidigare metoder tillåter banintegralen fysikern att enkelt flytta från en koordinat till en annan i den kanoniska beskrivningen av samma kvantsystem.

Banintegralen gäller även kvant- och stokastiska processer, och den gav grunden för 1970-talets stora syntes som kombinerade kvantfältteori med den statistiska teorin om fältfluktuationer nära andra ordningens fasövergångar . I detta fall är Schrödinger- ekvationen en diffusionsekvation med en imaginär diffusionskoefficient och vägintegralen är en analytisk fortsättning på metoden för summering av alla möjliga vägar. Av denna anledning användes vägintegraler för att studera Brownsk rörelse och diffusion lite tidigare än de introducerades till kvantmekaniken [1] .

Nyligen har definitionen av banintegraler utökats så att de, förutom Brownsk rörelse, även kan beskriva Levy-flygningar . Formuleringen i termer av Lévy-vägintegraler leder till bråkkvantmekanik och en bråkdelförlängning av Schrödinger-ekvationen [2] .

Kvantprincipen för handling

I traditionell kvantmekanik är Hamiltonian en generator av oändligt små (oändliga) tidsöversättningar (till exempel i utrymmet av tillstånd i ett kvantmekaniskt system). Detta betyder att tillståndet efter en oändlig tid skiljer sig från tillståndet vid en given tidpunkt med ett värde lika med produkten av Hamilton-operatörens inverkan på detta tillstånd. För stater med en viss energi uttrycker detta de Broglie-relationen mellan frekvens och energi , och den allmänna relationen överensstämmer med den, med hänsyn tagen till superpositionsprincipen . $dt$ $-jag$ $dt$

Men Hamiltonian i klassisk mekanik kommer från Lagrangian , som är en mer fundamental storhet enligt speciell relativitet . Hamiltonian beskriver utvecklingen av systemet i tid, men idén om tid förändras när man flyttar från en referensram till en annan. Hamiltonian är alltså olika för olika referensramar, och i den initiala formuleringen av kvantmekaniken är dess Lorentz-invarians inte uppenbar.

Hamiltonian är en funktion av koordinater och momenta, och utifrån den bestäms koordinaterna och momentum vid en senare tidpunkt. Lagrangian är en funktion av koordinater nu och koordinater lite senare (eller, motsvarande, för oändliga tidsintervall, det är en funktion av koordinater och hastighet). Den första och den andra är sammankopplade av Legendre-transformationen, och villkoret som definierar de klassiska rörelseekvationerna är minimiåtgärdsvillkoret .

Inom kvantmekaniken är Legendre-transformationen svår att tolka eftersom rörelsen inte följer en bestämd väg. I klassisk mekanik med tidsdiskretisering

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon)-q(t){\big )}-\varepsilon L,

och

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)))),

där den partiella derivatan med avseende på q lämnar q ( t + ε ) fixerade. Omvänd Legendre-transform:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

var

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p)),

och den partiella derivatan tas nu med avseende på p med q fixerad .

Inom kvantmekaniken är ett tillstånd en överlagring av olika tillstånd med olika värden på q eller olika värden på p , och storheterna p och q kan tolkas som icke-pendlande operatorer. p - operatorn har ett bestämt värde endast på tillstånd som inte har ett bestämt q . Sedan föreställer vi oss två tillstånd separerade i tid och agerar på dem med en operator som motsvarar Lagrangian:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon )-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Om multiplikationsoperationerna i denna formel betraktas som multiplikation av operatorer (eller deras matriser), betyder det att den första faktorn

e^{-ipq(t)}

och summan över alla tillstånd är integrerad över alla värden på q ( t ) - sålunda utförs Fouriertransformen till variabeln p ( t ). Denna åtgärd utförs på Hilbert-utrymmet - övergången till variabeln p ( t ) vid tidpunkten t .

Därefter kommer multiplikatorn

e^{-i\varepsilon H(p,q)},

beskriver utvecklingen av ett system över ett oändligt litet tidsintervall.

Och den sista multiplikatorn i denna tolkning:

e^{ipq(t+\varepsilon )},

producerar en basförändring tillbaka till q ( t ), men vid en senare tidpunkt.

Detta skiljer sig inte mycket från den vanliga utvecklingen i tid: H innehåller all dynamisk information - den skjuter tillståndet framåt i tiden. De första och sista delarna gör att Fourier transformeras till mellanvariabeln p ( t ) och tillbaka.

Hamiltonian är en funktion av p och q , så att exponera denna kvantitet och ändra basen från p till q i varje steg gör att matriselementet H kan uttryckas som en enkel funktion längs varje väg. Denna funktion är kvantanalogen till den klassiska handlingen. Denna observation gjordes först av Dirac .

Dirac anmärkte senare att man kunde ta kvadraten på evolutionsoperatorn i S -representationen:

e^{i\varepsilon S},

sålunda erhålles en utvecklingsoperator från tidpunkten t till tiden t + 2ε. Medan i H -representationen värdet som summerar över mellanliggande tillstånd är ett icke-uppenbart matriselement, är det i S -representationen associerat med en väg. Inom gränsen för en stor grad av denna operator, rekonstruerar den den fullständiga utvecklingen mellan två tillstånd: ett tidigt, vilket motsvarar fasta värden för koordinaterna q (0), och ett sent, med ett fast q ( t ) ). Resultatet är summan över banorna med fasen som kvantverkan.

Feynmans tolkning

Diracs arbete gav ingen exakt algoritm för att beräkna vägsummor, och det visade inte hur Schrödinger-ekvationen eller de kanoniska kommuteringsrelationerna kunde härledas från detta tillvägagångssätt. Detta gjordes av Feynman.

Feynman visade att Dirac handlingskvantum i de flesta intressanta fall helt enkelt är lika med den klassiska handlingen, på lämpligt sätt diskretiserad. Detta betyder att den klassiska handlingen är en fas som löper i kvantutveckling mellan två fasta slutpunkter. Han föreslog att man skulle härleda all kvantmekanik från följande postulat:

Sannolikheten för en händelse erhålls som kvadraten på modulen för ett komplext tal som kallas "amplitud".
Amplituden erhålls genom att lägga samman bidragen från alla historier i konfigurationsutrymmet.
Historiens bidrag till amplituden är proportionell mot , där är Plancks konstant , som kan sättas lika med enhet genom att välja ett system av enheter, medan S är verkan av denna historia som ges av tidsintegralen för Lagrangian längs med motsvarande väg. $e^{{iS/\hbar }}$ $\hbar$

För att hitta den totala amplitudsannolikheten för en given process måste man summera eller integrera amplituden över utrymmet för alla möjliga historier av systemet mellan initial- och sluttillståndet, inklusive historier som är absurda enligt klassiska standarder (till exempel partikel). hastigheter på banor kan överstiga ljusets hastighet). Vid beräkning av amplituden för en enskild partikel som rör sig från en plats till en annan under en given tid, är det nödvändigt att inkludera berättelser där partikeln beskriver ett bisarrt mönster, där partikeln "flyger ut i rymden" och flyger tillbaka, och så på. Banintegralen anser att alla dessa berättelseamplituder är lika i storlek (modul) men olika i fas (argument för komplexa tal). Bidrag som avsevärt skiljer sig från den klassiska historien undertrycks endast genom inblandning av bidrag från liknande historier med motsatt fas (se nedan).

Feynman visade att denna formulering av kvantmekanik är likvärdig med det kanoniska förhållningssättet till kvantmekanik när Hamiltonian är kvadratisk i momentum. Amplituden beräknad enligt Feynmans principer genererar också Schrödinger-ekvationen för Hamiltonian som motsvarar den givna verkan.

Klassiska handlingsprinciper leder till svårigheter på grund av sin idealitet: istället för att förutsäga framtiden utifrån initiala förhållanden, förutsäger de vägen till en given framtid genom en kombination av initiala och slutliga villkor, som om systemet på något sätt visste vilket tillstånd det skulle vara in. kom. Banintegralen förklarar den klassiska handlingsprincipen i termer av kvantöverlagring. Systemet behöver inte i förväg veta vart det är på väg - vägintegralen beräknar helt enkelt sannolikhetsamplituden för en given process, och banan går i alla möjliga riktningar. Men efter tillräckligt lång tid säkerställer interferenseffekter att endast bidrag från stationära aktionspunkter ger berättelser med meningsfulla sannolikheter. De stationära handlingspunkterna motsvarar klassiska banor, så att systemet i genomsnitt rör sig längs den klassiska banan.

Exakt formulering

Feynmans postulat kan tolkas på följande sätt:

Tidsdelning

För en partikel i en jämn potential approximeras banintegralen, som i det endimensionella fallet är en produkt av vanliga integraler, med sicksackbanor. När en partikel rör sig från en position vid en tidpunkt till en punkt vid , kan tidssekvensen delas upp i n små segment med fast varaktighet (ett återstående segment kan försummas, eftersom gränsen i slutändan anses ). Denna process kallas time slicing. $x=x_{a}$ ${\displaystyle t=t_{a))$ $x=x_{b}$ ${\displaystyle t=t_{b))$ ${\displaystyle t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b))$ $t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\dots ,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\to \infty$

Approximationen för vägintegralen är proportionell mot uttrycket

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

där är lagrangian för ett endimensionellt system beroende på den rumsliga variabeln x ( t ) och hastighet , och motsvarar positionen vid det j :te tidssteget om tidsintegralen approximeras av summan av n termer. ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\dot {x}}(t)$ ${\displaystyle dx_{j))$

I gränsen som n tenderar till oändligheten blir detta uttryck en funktionell integral , som (bortsett från en obetydlig faktor) är direkt produkten av amplituderna av sannolikhetstätheterna för att hitta en kvantmekanisk partikel vid i initialtillståndet och vid i slutligt tillstånd . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ ${\displaystyle t=t_{a))$ $x=x_{a}$ ${\displaystyle t=t_{b))$ $x=x_{b}$

I själva verket är den klassiska lagrangianen i det endimensionella systemet under övervägande, , var är Hamiltonian ( p är momentum, lika per definition, och den tidigare nämnda "sicksack" motsvarar utseendet på termerna ${\mathcal L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)=p{\dot {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

var är någon punkt från motsvarande segment. Du kan till exempel ta mitten av segmentet: . ${\tilde x}_{j}\in [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

I motsats till klassisk mekanik bidrar alltså inte bara den stationära banan, utan faktiskt alla virtuella banor mellan start- och slutpunkterna.

Feynman-approximationen av tidskvantisering existerar dock inte för de viktigaste kvantmekaniska vägintegralerna för atomer på grund av singulariteten hos Coulomb-potentialen vid noll. Först efter att tiden t har ersatts med en annan vägberoende parameter ("pseudotid") tas singulariteten bort och en tidskvantiseringsapproximation existerar som är exakt integrerbar eftersom den kan göras harmonisk med en enkel koordinattransformation, vilket visas av İsmail Hakkı Duru och Hagen Kleinert 1979 [3] . Den kombinerade tillämpningen av tid-"pseudo-tid"-transformationen och koordinattransformationer är en viktig teknik för att beräkna många vägintegraler och kallas Duru-Kleinert-transformationen. $e^{2}/r$ $s=\int dt/r(t)$

Fri partikel

I vägintegralrepresentationen rör sig kvantamplituden från punkt x till punkt y som en integral över alla banor. För en fri partikel är åtgärden ( , ) integral $m=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt

kan hittas explicit.

För att göra detta är det begreppsmässigt bekvämt att börja utan i- faktorn i exponenten, så att stora avvikelser kompenseras av små tal snarare än att avbryta fluktuerande bidrag:

K(xy;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Vi delar upp integralen i delar:

K(x,y;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi _{t}e^{{-{\frac 12}\ left({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

där Dx tolkas som en finit samling av integrationer över varje heltalsfaktor ε. Varje faktor i produkten är en Gauss som funktion av x ( t + ε ) centrerad vid x ( t ) med variation ε. De multipla integralerna är upprepade faltningar av denna Gaussiska G ε med kopior av sig själv i närliggande tider:

K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\dots *G_{\varepsilon },

där antalet faltningar är lika med T /ε. Resultatet erhålls enkelt genom att ta Fouriertransformen av båda sidorna, så att faltningarna blir multiplikationer:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

Fouriertransformen av det Gaussiska G är en annan Gaussisk med omvänd variation[ förtydliga ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

och resultat

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \över 2}}}.

Fouriertransformen ger K , och detta är återigen en Gauss med invers variation:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \över 2T}}.

Proportionalitetskonstanten är inte riktigt definierad av deltidsmetoden, bara förhållandet mellan värdena för de olika slutliga valen definieras. En proportionalitetskonstant måste väljas för att säkerställa att tidsutvecklingen mellan var och en av de två tidspartitionerna är kvantmekaniskt enhetlig, men ett mer belysande sätt att korrigera normaliseringen är att anta vägintegralen som en beskrivning av en stokastisk process.

Resultatet har en probabilistisk tolkning. Summan över alla banor av exponentialfaktorn kan representeras som summan över alla banor av sannolikheten att välja en given bana. Sannolikheten är produkten över varje segment av urvalssannolikheten för ett givet segment, så att varje segment är probabilistiskt oberoende valt. Det faktum att svaret är en Gauss som fortplantar sig linjärt i tiden är en central gränssats som kan tolkas som den första historiska härledningen av den statistiska vägintegralen.

Den probabilistiska tolkningen ger ett naturligt val av normalisering. Banintegralen bör definieras på ett sådant sätt att:

\int K(xy;T)dy=1.

Detta tillstånd normaliserar Gauss och bildar en kärna som uppfyller diffusionsekvationen:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

För oscillerande vägintegraler, de med i i täljaren, ger tidsuppdelningen skeva Gaussianer, som tidigare. Nu är dock krökningsprodukten singular i minsta utsträckning, eftersom den behöver noggranna gränser för att definiera de oscillerande integralerna. För att göra faktorerna väldefinierade är det enklaste sättet att lägga till en liten tänkt del till tidstermen ε. Sedan ger samma vridningsargument som tidigare förökningskärnan:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \över 2T}.

Som, med samma normalisering som tidigare (inte summakvadratnormaliseringen! denna funktion har en divergerande norm), uppfyller den fria Schrödinger-ekvationen

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

Detta betyder att varje superposition av K också kommer att uppfylla samma ekvation, linjärt. Definiera

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0 )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

då uppfyller ψt den fria Schrödinger-ekvationen, liksom K:

{\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.

Länkar

↑ Kleinert, H. Mätfält i kondenserad materia . - Singapore: World Scientific, 1989. - Vol. I. - ISBN 9971-5-0210-0 . Arkiverad från originalet den 14 maj 2006. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 20 september 2009. Arkiverad från originalet 14 maj 2006. (obestämd) Finns även online: Vol. Jag arkiverade 27 maj 2008 på Wayback Machine .
↑ Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Physical Review E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . - doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ I. H. Duru, H. Kleinert. Lösning av vägintegralen för H-atomen (engelska) // Physics Letters B. - 1979. - Vol. 84 , iss. 2 . - S. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Se även

Litteratur

Simon B. Funktionell integration och kvantfysik. — Academic Press, 1979.
Berezin F. A. Andra kvantiseringsmetoden. — M .: Nauka, 1986. — 320 sid.
Zinn-Justin J. Kontinuumintegral i kvantmekanik. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 sid.
Lobanov Yu Yu Ungefärliga funktionella integrationsmetoder för numerisk undersökning av modeller inom kvantfysik (avhandling för doktorsexamen i fysikaliska och matematiska vetenskaper). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Mätfält och strängar. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 sid.
Popov VN Continuum integraler i kvantfältteori och statistisk mekanik. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 sid.
Slavnov AA, Faddeev LD Introduktion till kvantteorin för mätfält. - M. : Nauka, 1988. - 272 sid.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Kontinuumintegraler. — M .: Nauka, 1990. — 150 sid.
Feynman R., Hibs A. Kvantmekanik och vägintegraler. - M. : Mir, 1968. - 384 sid.
Shestakova TP Metod för vägintegral i kvantfältteori. Föreläsningskurs. - M . : In-t dator. issled., 2005. - 228 sid. — ISBN 5-939724-07-8 .
Artikel i Physical Encyclopedia (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

Richard Feynman
Vetenskapen	Feynman-diagram Feynman-diagram med en slinga Feynman-Katz formel Wheeler-Feynman absorptionsteori Bethe-Feynman formel Hellmann-Feynmans teorem Feynman snedstreck notation Feynman parametrisering Formulering i termer av vägintegraler Parton (partikel) propagator klibbig pärla argument Teori om ett enelektronuniversum Quantum cellulär automat Rogers kommissionen Feynman schackbräde Feynman poäng Feynman sprinkler Feynman-Smoluchowski spärrhake
Arbetar	" Mycket utrymme nedanför " (1959) " Feynman-föreläsningarna om fysik " (1964) " De fysiska lagarnas natur " (1965) " QED är en konstig teori om ljus och materia " (1985) " Naturligtvis skämtar du, herr Feynman! » (1985) " Vad bryr du dig om vad andra tycker? » (1988) " Feynmans förlorade föreläsning " (1997) " Meningen med allt " (1999) " Nöjet att ta reda på saker " (1999) " Perfekt rimliga avvikelser från det slagna spåret " (2005)
Övrig	Vetenskaplig lastkult " Quantum Man: Richard Feynmans liv i vetenskapen " (2011) Tuva eller byst! Feynman Nanotechnology Prize " Infinity " (film, 1996) " QED " (pjäs, 2001) " Challenger " (film, 2013)