Feynman parametrisering

Feynman-parametriseringen är en metod för att utvärdera slutna-loop-integraler som härrör från Feynman-diagram med en eller flera cykler. Men det är ibland användbart när man integrerar inom området ren matematik .

Formler

Richard Feynman observerade att:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}

formeln är dessutom giltig för alla komplexa tal A och B, om 0 inte finns i linjesegmentet som förbinder A och B. Formeln hjälper till att utvärdera integraler, såsom:

\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p) +(1-u)B(p)\höger]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1 -u)B(p)\höger]^{2}}}.

Om A (p) och B (p) är linjära funktioner av p , så kan den sista integralen utvärderas genom substitution.

Mer allmänt, med hjälp av Dirac delta-funktionen : [1] $\delta$

{\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1} \cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\summa _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\ summa _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{ 1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\ vänster[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\dots +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\höger]^{ n}}}.\end{aligned}}

Denna formel är giltig för alla komplexa tal A 1 ,. , ., A n om 0 inte finns i deras konvexa skrov .

Ännu mer generellt, förutsatt att för alla : ${\text{Re}}(\alpha _{j})>0$ $1\leq j\leq n$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n))))={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n))}}\int _{0}^{1 }du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\summa _{k=1}^{n}u_{k})\;u_ {1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\summa _{k=1}^{n}u_{ k}A_{k}\höger)^{\summa _{k=1}^{n}\alpha _{k))))

var är gammafunktionen . [2] $\gamma$

Slutsats

{\frac {1}{AB}}={\frac {1}{AB}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right )={\frac {1}{AB}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.

Nu är det bara att linjärt transformera integralen genom att använda substitution,

u=(zB)/(AB)

, som leder till

du=dz/(AB)

var

z=uA+(1-u)B

och vi får önskat resultat:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}} .

I mer allmänna fall kan härledning göras mycket effektivt med Schwinger-parametriseringen . Till exempel, för att härleda Feynmans parametriserade form. Först återuttrycker vi alla faktorer i nämnaren i deras Schwinger-parametriserade form: ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n))))$

{\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ { \text{för }}i=1,\ldots ,n

och skriv ner

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).

Vi utför sedan följande modifiering av integrationsvariablerna,

\alpha =s_{1}+...+s_{n},

\alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,

För att uppnå,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1 }\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots + \alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\ höger).

där anger områdesintegration med , ${\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1))$ $0\leq \alpha _{i}\leq 1$ $\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1$

Nästa steg är att utföra integration över . $\alfa$

\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\ partiell (-x)^{n-1))}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n -1\höger)!}{x^{n}}}.

där vi definierade $x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\ alfa _{n-1}\right)A_{n}.$

Genom att ersätta detta resultat får vi den näst sista formen,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\vänster (1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},

och efter att ha introducerat en extra integral kommer vi fram till den slutliga formen av Feynman-parametriseringen, nämligen:

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)} {[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.

På liknande sätt, för att härleda formen av Feynman-parametriseringen från det mest allmänna fallet, kan man börja med en lämplig annan form av Schwinger-parametriseringen i nämnaren, nämligen: ${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1)...A_{n}^{\alpha _{n))))$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1))))={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!)} \int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1))={\frac { 1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1 }-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)

och fortsätt sedan exakt enligt föregående fall.

Alternativ form

En alternativ form av parametrisering som ibland är användbar är

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}} }.

Detta formulär kan erhållas med en förändring av variabler . Vi kan använda produktregeln för att visa att $\lambda =u/(1-u)$ $d\lambda =du/(1-u)^{2}$

{\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right ]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{ \frac {u}{1-u}}A+B\höger]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[ \lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}

Mer generellt har vi

{\frac {1}{A^{m}B^{n))}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)))\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m))},

var är gammafunktionen . $\gamma$

Den här formen kan vara användbar när du kombinerar en linjär nämnare med en kvadratisk nämnare , till exempel i teorin om effektiv tung kvark (HQET). $A$ $B$

Symmetrisk form

Ibland används en symmetrisk form av parametrisering, där intervallintegralen utförs istället , vilket resulterar i: $[-1,1]$

{\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right ]^{2}}}.

Anteckningar

↑ . - ISBN 978-0-521-67053-1 .
↑ Kristjan Kannike. Anmärkningar om Feynman-parametrisering och Dirac-deltafunktionen . Datum för åtkomst: 24 juli 2011. Arkiverad från originalet den 29 juli 2007. (obestämd)

Richard Feynman
Vetenskapen	Feynman-diagram Feynman-diagram med en slinga Feynman-Katz formel Wheeler-Feynman absorptionsteori Bethe-Feynman formel Hellmann-Feynmans teorem Feynman snedstreck notation Feynman parametrisering Formulering i termer av vägintegraler Parton (partikel) propagator klibbig pärla argument Teori om ett enelektronuniversum Quantum cellulär automat Rogers kommissionen Feynman schackbräde Feynman poäng Feynman sprinkler Feynman-Smoluchowski spärrhake
Arbetar	" Mycket utrymme nedanför " (1959) " Feynman-föreläsningarna om fysik " (1964) " De fysiska lagarnas natur " (1965) " QED är en konstig teori om ljus och materia " (1985) " Naturligtvis skämtar du, herr Feynman! » (1985) " Vad bryr du dig om vad andra tycker? » (1988) " Feynmans förlorade föreläsning " (1997) " Meningen med allt " (1999) " Nöjet att ta reda på saker " (1999) " Perfekt rimliga avvikelser från det slagna spåret " (2005)
Övrig	Vetenskaplig lastkult " Quantum Man: Richard Feynmans liv i vetenskapen " (2011) Tuva eller byst! Feynman Nanotechnology Prize " Infinity " (film, 1996) " QED " (pjäs, 2001) " Challenger " (film, 2013)