Feynman-Katz formel

Feynman-Kac- formeln är en matematisk formel som upprättar ett samband mellan partiella differentialekvationer (av en speciell typ) och slumpmässiga processer. Uppkallad efter fysikern Richard Feynman och matematikern Mark Katz .

I synnerhet ger denna formel en metod för att lösa en partiell differentialekvation med hjälp av banorna för en slumpmässig process (den så kallade Monte Carlo-metoden ). Omvänt kan den matematiska förväntan av en slumpmässig process beräknas som en lösning på motsvarande partiella differentialekvation.

Formulering i det endimensionella fallet

Tänk på differentialekvationen

{\frac {\partial u}{\partial t))+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x))+{\tfrac {1}{2))\sigma ^ {2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}-V(x,t)u+f(x,t)=0\qquad ( *)

med en okänd funktion , där och är oberoende variabler, är kända funktioner. Feynman-Kac-formeln anger att lösningen av ekvationen (*) med initialtillståndet (i omvänd tid) $u=u(x,t)$ $x \in \mathbb{R}$ $t\in[0,T]$ $\mu ,\sigma ,V,f$

u(x,T)=\psi(x),

kan uttryckas som en villkorad förväntan

u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau})\, d\tau }}f(X_{s},s)ds+e^{{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }}\psi (X_ {T})\ {\bigg |}\ X_{t}=x\right],

där är ett sannolikhetsmått så att den slumpmässiga processen är en Itô-process som beskrivs av den stokastiska ekvationen $F$ $X_{t}$

dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},\qquad (**)

var är Wienerprocessen , med initialvillkoret $W_{t}^{Q}$

X_{0}=x

Flerdimensionell variant

Feynman-Katz-formeln har en flerdimensionell motsvarighet när variabeln . $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}$

I detta fall har differentialekvationen (*) formen

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\ partiell x_{i))}+{\tfrac {1}{2}}\summa _{{i=1}}^{n}\summa _{{j=1}}^{n}\gamma _{ {ij}}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-V(x,t)u+f(x,t )=0

och n -dimensionell slumpmässig process beskrivs av den stokastiska ekvationen $X_{t}$

dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\Sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},

där är en kolumnvektor , är en n - dimensionell wienerprocess , är en kvadratisk matris av ordningen n, relaterad till matrisen med formeln $\mu$ $(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})$ $W_{t}^{Q}$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$ $\Gamma =(\gamma _{{ij}})$

\Gamma =\Sigma \cdot \Sigma ^{*},

asterisken betyder transponera.

Se även

Litteratur

Oksendal B. Stokastiska differentialekvationer. Introduktion till teori och tillämpningar. — M .: Mir, 2003.
Protter PE Stokastisk Integration och Differentialekvationer. — Springer, 2005.
Simon B. Funktionell integration och kvantfysik. — Academic Press, 1979.
Klebaner, F.C. Introduktion till stokastisk kalkyl med applikationer. — London, Storbritannien: Imperial College Press, 2005.
Knill, O. Sannolikhetsteori och stokastiska processer med tillämpningar. — Overseas Press, 2009.

Richard Feynman
Vetenskapen	Feynman-diagram Feynman-diagram med en slinga Feynman-Katz formel Wheeler-Feynman absorptionsteori Bethe-Feynman formel Hellmann-Feynmans teorem Feynman snedstreck notation Feynman parametrisering Formulering i termer av vägintegraler Parton (partikel) propagator klibbig pärla argument Teori om ett enelektronuniversum Quantum cellulär automat Rogers kommissionen Feynman schackbräde Feynman poäng Feynman sprinkler Feynman-Smoluchowski spärrhake
Arbetar	" Mycket utrymme nedanför " (1959) " Feynman-föreläsningarna om fysik " (1964) " De fysiska lagarnas natur " (1965) " QED är en konstig teori om ljus och materia " (1985) " Naturligtvis skämtar du, herr Feynman! » (1985) " Vad bryr du dig om vad andra tycker? » (1988) " Feynmans förlorade föreläsning " (1997) " Meningen med allt " (1999) " Nöjet att ta reda på saker " (1999) " Perfekt rimliga avvikelser från det slagna spåret " (2005)
Övrig	Vetenskaplig lastkult " Quantum Man: Richard Feynmans liv i vetenskapen " (2011) Tuva eller byst! Feynman Nanotechnology Prize " Infinity " (film, 1996) " QED " (pjäs, 2001) " Challenger " (film, 2013)