Kvantfältstörningsteori i statistisk fysik

Quantum field perturbation theory in statistisk fysik är en metod för att studera interagerande system inom statistisk fysik baserad på tekniker som ursprungligen utvecklats för elementarpartikelfysikens behov. Störningsteorin (PT) bygger på ett steg-för-steg övervägande av en störning, som anses vara liten. Vid nollsteget är denna störning helt eliminerad, vilket motsvarar ett idealiserat fritt (utan störning) system. I nästa steg beaktas korrigeringen till nollapproximationen, redan linjär i störning, i det andra steget den kvadratiska korrigeringen och så vidare. Naturligtvis är det på detta sätt omöjligt att ta hänsyn till alla beställningars bidrag till det beräknade värdet. Vanligtvis är de begränsade till de första villkoren av expansionen och får bra överensstämmelse med experimentdata. För att förfina beräkningarna är det nödvändigt att ta hänsyn till följande expansionsvillkor. TV används mycket framgångsrikt i metoden för vägintegraler [1] [2]

Introduktion

Ett viktigt ämne inom statistisk fysik är den fullständiga korrelationsfunktionen . I formalismen av vägintegraler definieras n-punktskorrelationsfunktionen som [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_ {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

här , är Hamiltonian för det aktuella systemet, är Boltzmann-konstanten , är den absoluta temperaturen och är det slumpmässiga fältet för ordningsparametern (till exempel avvikelsen för systemdensiteten från genomsnittet). Observera att detta ibland kallas "action", men bör inte förväxlas med verklig action . Korrelationsfunktioner kan mätas direkt i experiment, till exempel på spridning av ljus genom densitetsfluktuationer $S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\phi (x)$ $S(\phi)$

Hela systemets fysik dikteras av typen och egenskaperna . Den viktigaste modellen inom statistisk fysik är modellen , som beskrivs av en handling av formen: $S(\phi)$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\right)

det antas att alla parametrar här är analytiska funktioner av temperatur. Denna modell beskriver väl beteendet hos vätskor och ångor i närheten av den kritiska punkten, beteendet hos magneter i närheten av Curie-punkten, etc.

För att beräkna korrelationsfunktionerna är det nödvändigt att beräkna motsvarande vägintegral med en given åtgärd eller den genererande funktionella . Det är uppenbart att i det allmänna fallet är detta omöjligt. Ett exakt analytiskt uttryck kan endast erhållas för åtgärder som är kvadratiska i fältet, det vill säga i fallet med en Gaussisk fördelning . Av denna anledning används här TV-metoden. En liten störning i teorin under övervägande är termen . $g\phi ^{4}$

The Problem of Infinities

Störningens litenhet gör det möjligt att expandera exponentialen i potenser av kopplingskonstanten g och ytterligare beräkna banintegraler med en kvadratisk Hamiltonian. Sådana beräkningar är baserade på tillämpningen av Wicks teorem och Feynmans regler . Använd dem och överväg en 2-punkts korrelationsfunktion:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\summa _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right )} ^{j}}}.

I nollordningens TV i kopplingskonstanten får vi korrelationsfunktionen för den fria teorin:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

i första ordningen i g har vi:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}{\int {\mathfrak {D}} \phi e^{{-S_{0}}}}}},

då kommer korrelationsfunktionen i en sådan linjär approximation att vara:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Alla korrigeringar är byggda från den fria teoripropagatorn och interaktionstermen . I momentumrepresentationen motsvarar den första korrigeringen i g termen: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g\phi ^{4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, var

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Det kan ses att denna integral divergerar vid stora pulser - UV (ultraviolett) - divergens. Om vi inför en cutoff-parameter, det vill säga begränsa integrationsområdet med villkoret , då . Således är det tydligt att redan vid TV:ns första steg uppstår oändliga uttryck. I allmänhet kan oändligheter uppträda inte bara på grund av UV-divergenser hos integralerna, utan också på grund av IR-divergenser (vid små momenta), kolinjära divergenser (på grund av momentan parallellism), etc. De kan regleras med hjälp av vissa parametrar, t.ex. exempel . Som ett resultat blir de beräknade uttrycken beroende av dessa okända regulariseringsparametrar. Det är dock möjligt att omdefiniera de ursprungliga fälten och avgifterna så att svaret inte innehåller en reglerare. Tekniskt sett görs detta genom att lägga till mottermer till den ursprungliga (grundläggande) åtgärden, som beror på regulariseringsparametern och laddar och avbryter alla regulariserade termer i varje ordning i g, vilket gör svaren ändliga. En teori med en sådan korrigerad handling kallas renormaliserad. Det visar sig att det inte alltid är möjligt att minska skillnaderna i teorin. Om antalet divergerande bidrag är ändligt, så är teorin superrenormaliserbar, om deras antal är oändligt, men de kan avbrytas i varje ordning, då är teorin renormaliserbar, om detta inte kan göras är teorin icke-renormaliserbar. Modellen är superrenormaliserbar i rymddimensioner mindre än 4, i 4 dimensioner är den renormaliserbar, i ett utrymme med högre dimensioner är det omöjligt att avbryta alla oändligheter. I allmänhet bestäms en teoris tillhörighet till en eller annan kategori av laddningens dimension. $|k|\leqslant \Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}$ $\lambda$ $\phi ^{4}$

Ett annat sätt att reglera är att flytta rummets dimension . I detta tillvägagångssätt har de divergerande delarna av integralerna formen av poler i parametern . Att lägga till mottermer till den grundläggande åtgärden motsvarar att sträcka ut de initiala (frö) parametrarna: $4\högerpil 4-\epsilon$ $\epsilon$

\phi (x)\högerpil Z_{{\phi }}\phi (x),g\högerpil g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

Vid beräkning är det mest bekväma minimisubtraktionsschemat eller MS-schemat (från Minimal Substraktioner). I den är kvantiteterna funktioner av det dimensionslösa g (dimensionen av g "tas över" av renormaliseringsmassan ) och . Dessa kvantiteter har strukturen $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon )=1+\summa _{{n=1}}^({\infty }}g^{n}\summa _{{i=1}}^{{n}}{\ epsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

var finns numeriska faktorer [4] [5] . $a_{{ni}}$

Seriekonvergens

Efter renormalisering ger varje term i tv-serien ett ändligt bidrag. Nästa problem som ska lösas är konvergensen av den resulterande serien.

Det är tydligt att ändligheten i varje bidrag inte innebär ändligheten hos tv-serien. För att bestämma konvergensradien kan du använda d'Alembert-tecknet :

R=\lim _{{N\högerpil \infty }}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

här är expansionskoefficienterna för någon kvantitet i en serie i g. Detta innebär att för att bestämma konvergensradien räcker det att känna till det asymptotiska beteendet för at , det vill säga det asymptotiska beteendet för höga ordrar (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\högerpil \infty$

Betrakta hela n-punktskorrelationsfunktionen som en funktion av laddningen g. Dess serieexpansion i g har formen:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\summa _{{N=0}}^{{\infty }}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

och expansionskoefficienterna, under antagande om analyticitet , bestäms av formeln : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Den här vyn låter dig tillämpa godkänd-metoden på studier av WUA. Det slutliga uttrycket för AVP för expansionskoefficienterna för n-punktskorrelationsfunktionen är:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

storheterna c(n), b(n) beror endast på n, a är en konstant och är några funktioner. Det kan ses att det inte finns något behov av att prata om någon konvergens av tv-serien. I de flesta fall är tv-serier asymptotiska. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Uppdelningar av kritiska index

Trots att uppkomsten av UV-divergenser i TV leder till vissa svårigheter, finns det också en positiv sida av denna situation. Som redan är känt, i dimensionell regularisering, har renormaliseringskonstanterna Z strukturen av poler i . Det visar sig att resterna vid renormaliseringskonstanternas enkla poler innehåller all information om modellens kritiska beteende, det vill säga om beteendet i närheten av den kritiska punkten. De kritiska indexen är direkt relaterade till de anomala dimensionerna, som bestäms av dessa rester: . I detta tillvägagångssätt konstrueras kritiska index som segment av serier i termer av parametern [8] . Som analysen av ATP för en sådan -expansion visar, har koefficienterna för dessa serier samma asymptotik (a, b(n), c(n, naturligtvis skiljer sig åt) som n-punktskorrelationsfunktionerna. Därför är den direkta summeringen av sådana expansioner inte meningsfull, eftersom nästa term ger ett större bidrag än den föregående. Emellertid kan faktoriellt divergerande serier också summeras i en generaliserad mening och få ganska bra resultat, och i slutresultaten bör vi sätta , om vi är intresserade av tredimensionella system, eller i det tvådimensionella fallet. Vi noterar att de kritiska exponenterna initialt beräknades inom ramen för Landaus medelfältteori och stämde dåligt överens med experimentet. Renormaliseringsgruppsmetoden ( -expansion) gör att man kan beräkna kritiska exponenter med god noggrannhet [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Borel summering av störningsserier

Låt oss nu fokusera på en metod som låter dig summera faktoriellt divergerande serier.

Anta någon funktion

Q(z)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}Q_{k}z^{k}

har en WUA av typen . Då är Borel- funktionen för en funktion funktionen $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B(z)$ $Q(z)$

B(z)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}B_{k}z^{k}

Så att

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

och

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

Giltigheten av detta påstående är baserat på Watsons sats [10] [11] , vilket är sant under förutsättning att funktionen Q(z) är analytisk i någon sektor i det komplexa planet för variabeln z. Som regel, inom kvantfältteori och statistisk fysik, vet vi inte i förväg de analytiska egenskaperna hos den funktion som vi konstruerar TV-serien för, så tillämpligheten av Watsons sats förblir ifrågasatt. Betrakta funktionen som en funktion av den komplexa variabeln z. Av definitionen av dess expansionskoefficienter följer att motsvarande WUA kommer att ha formen: $B(z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

Det följer att i cirkeln konvergerar serien till funktionen $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

var finns konstanter. Observera att integrationskonturen korsar seriens konvergenscirkel och går bortom analyticitetsregionen , därför är det nödvändigt att konstruera analytiska fortsättningar för bortom konvergensområdet för att beräkna värdet. Sådana utbyggnader kan konstrueras på flera sätt. En av dem är Padés approximativa metod . Ett ytterligare krav för approximation är frånvaron av poler på integrationsaxeln. Den andra metoden är metoden för konforma mappningar [12] $\r_{1},r_{2}$ $B(z)$ $B(z)$ $Q(z)$ $B(z)$

Således består återupptagningsproceduren i övergången till en konvergent serie, beräkningen av dess summa och den inversa transformationen till det ursprungliga värdet. Om vi tillämpar denna metod på vanliga konvergerande serier med summa S, får vi samma svar S efter Borel-summering.

Som ett exempel presenteras värdena för några kritiska exponenter som erhållits genom återupptagning - expansion (fem-loop) ( ), högtemperaturexpansion (HT) och experimentellt (E) för en isotrop ferromagnet: $\epsilon$ $\epsilon$

Man kan se att alla metoder för att beräkna kritiska exponenter ger samma resultat inom felet. Så trots att tv-serierna är asymptotiska och den formellt sett lilla expansionsparametern faktiskt visar sig vara i storleksordningen och till och med större än enhet, är beräkningsresultaten absolut objektiva. Verifiering av störande QED för sådana kvantiteter som Lamb shift eller onormalt magnetiskt moment ger en rekordstor noggrannhet av överensstämmelse mellan teori och experiment. Standardmodellen för elektrosvaga interaktioner av elementarpartikelfysik visar också en fantastisk överensstämmelse mellan beräkningar av störningsteori och experimentella resultat. Trots all dess effektivitet är TV dock begränsad i dess tillämpningsområde. Dessa begränsningar är kopplade både med ökningen av komplexiteten hos loopberäkningar i varje successiv TV-ordning och med den grundläggande skillnaden mellan teorins störande och icke-perturbativa spektra. I QCD är det inte möjligt att klara sig med enbart störande beräkningar på grund av förekomsten av inneslutningsfenomenet och det stora värdet av kopplingskonstanten i det infraröda området.

Se även

Anteckningar

↑ Popov V.N. Vägintegraler i kvantfältteori och statistisk fysik. — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Introduktion till kvantfältteori. - Izhevsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasiliev. Funktionella metoder inom kvantfältteori och statistik. - Leningrad: Leningrad. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasiliev A. N. Kvantfältsrenormaliseringsgrupp i teorin om kritiskt beteende och stokastisk dynamik. - St. Petersburg: PNPI, 1998. - P. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalisering . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - S. 62 . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L.N. Divergens mellan serier av störningsteori och semiklassisk teori // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - S. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. Interaktionen // Phys. Varv. D. - 1977. - T. 15 , nr 1544 . $\phi ^{{2N}}$
↑ Ma Sh. Modern teori om kritiska fenomen. - Colorado: Westview Press, 2000. - S. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Fluktuationsteori för fasövergångar. — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // Metoder för modern matematisk fysik Analys av operatörer. - California: Academic Press, 1978. - P. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Divergent serie. New York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Kvantfältteori och kritiska fenomen. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - P. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Litteratur

Itsikson K, Zyuber Zh. B. Kvantfältteori. Volym 1. Volym 2 .. - M . : Mir, 1987.
Zee E. Kvantfältteori i ett nötskal - Forskningscentrum "RCHD", 2009.
Wilson K. Renormaliseringsgrupp och kritiska fenomen: Nobelföreläsning. — 1982.